Represente graficamente o domínio de cada uma das funções dadas.
Passo 1
O enunciado pede: representar graficamente o domínio da função
Informações dadas que precisamos usar:
- A função depende de duas variáveis reais
e . - Temos um logaritmo natural
. - Temos uma raiz quadrada
no denominador.
Passo 2
Condição vinda do logaritmo: a função
está definida apenas para argumentos positivos. Portanto, para
fazer sentido precisamos de
Explicação curta e didática:
não existe (tende a
) e
de números negativos não é real. Na prova, sempre escreva que exige-se
.
Passo 3
Condição vinda da raiz quadrada no denominador: a expressão
tem duas restrições.
- O radicando deve ser não negativo para ter raiz real:
, isto é . - Como esse radical está no denominador, não se pode ter denominador zero:
, ou seja .
Combinando as duas: devemos ter
, isto é
Explicando devagar: se
então
e dividir por zero é proibido; se
a raiz não é real. Logo só vale
.
Passo 4
Intersecção das condições (parte lógica): o domínio é o conjunto de todos os pares
que satisfazem simultaneamente
Em linguagem de conjunto:
Outra forma compacta e prática para anotar na prova:
Passo 5
Interpretação geométrica (como fica no plano
):
- A reta vertical
é uma fronteira vertical, mas não pertence ao domínio (excluída). - O eixo horizontal
(o próprio eixo ) é a fronteira inferior, também não pertence ao domínio. - O domínio é a região aberta que fica à direita da reta vertical
e acima do eixo . Em palavras: o “quadrante” para cima e à direita a partir do ponto , sem incluir as duas fronteiras.
Passo 6
Como desenhar isso rápido numa prova (passo a passo):
- Desenha o sistema de eixos
e . - Marca a reta vertical
e risca-a com traço pontilhado (para indicar que não está incluída). - Marca o eixo
(o próprio eixo ) e também o desenhe pontilhado na porção relevante para indicar exclusão. - Sombrea a região que está simultaneamente à direita de
e acima de . - Opcional: coloque um ponto de teste dentro da região, por exemplo
. Verifique: está definida e , logo pertence ao domínio. Teste um ponto fora, por exemplo falha porque .
Passo 7
Observações finais e dica de prova:
- Sempre verifique separadamente cada condição imposta por funções compostas (log, raiz, divisão).
- Use test-points (um dentro e um fora) para confirmar o desenho do domínio — isso ajuda a evitar erros em provas sob pressão.
- A função
é bem definida e real em todo acima; em particular é contínua ponto a ponto no domínio, mas isso é só uma observação adicional.