Represente graficamente o domínio de cada uma das funções dadas.
f(x, y)=\frac{\ln (y)}{\sqrt{x+7}}

Passo 1

O enunciado pede: representar graficamente o domínio da função
f(x,y)=\frac{\ln(y)}{\sqrt{x+7}}.
Informações dadas que precisamos usar:
  • A função depende de duas variáveis reais x e y.
  • Temos um logaritmo natural \ln(y).
  • Temos uma raiz quadrada \sqrt{x+7} no denominador.

Passo 2

Condição vinda do logaritmo: a função \ln(t) está definida apenas para argumentos positivos. Portanto, para \ln(y) fazer sentido precisamos de
y>0.
Explicação curta e didática: \ln(0) não existe (tende a -\infty) e \ln de números negativos não é real. Na prova, sempre escreva que exige-se y>0.

Passo 3

Condição vinda da raiz quadrada no denominador: a expressão \sqrt{x+7} tem duas restrições.
  1. O radicando deve ser não negativo para ter raiz real: x+7\ge 0, isto é x\ge -7.
  2. Como esse radical está no denominador, não se pode ter denominador zero: \sqrt{x+7}\neq 0, ou seja x+7\neq 0.
Combinando as duas: devemos ter x+7>0, isto é
x>-7.
Explicando devagar: se x=-7 então \sqrt{x+7}=0 e dividir por zero é proibido; se x<-7 a raiz não é real. Logo só vale x>-7.

Passo 4

Intersecção das condições (parte lógica): o domínio é o conjunto de todos os pares (x,y) que satisfazem simultaneamente
x>-7\quad\text{e}\quad y>0.
Em linguagem de conjunto:
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x>-7,\; y>0\}.
Outra forma compacta e prática para anotar na prova:
D = (-7,\infty)\times(0,\infty).

Passo 5

Interpretação geométrica (como fica no plano (x,y)):
  • A reta vertical x=-7 é uma fronteira vertical, mas não pertence ao domínio (excluída).
  • O eixo horizontal y=0 (o próprio eixo x) é a fronteira inferior, também não pertence ao domínio.
  • O domínio é a região aberta que fica à direita da reta vertical x=-7 e acima do eixo y=0. Em palavras: o “quadrante” para cima e à direita a partir do ponto (-7,0), sem incluir as duas fronteiras.

Passo 6

Como desenhar isso rápido numa prova (passo a passo):
  1. Desenha o sistema de eixos x e y.
  2. Marca a reta vertical x=-7 e risca-a com traço pontilhado (para indicar que não está incluída).
  3. Marca o eixo y=0 (o próprio eixo x) e também o desenhe pontilhado na porção relevante para indicar exclusão.
  4. Sombrea a região que está simultaneamente à direita de x=-7 e acima de y=0.
  5. Opcional: coloque um ponto de teste dentro da região, por exemplo (-6,1). Verifique: \ln(1)=0 está definida e \sqrt{-6+7}=\sqrt{1}=1\neq0, logo (-6,1) pertence ao domínio. Teste um ponto fora, por exemplo (-8,1) falha porque -8<-7.

Passo 7

Observações finais e dica de prova:
  • Sempre verifique separadamente cada condição imposta por funções compostas (log, raiz, divisão).
  • Use test-points (um dentro e um fora) para confirmar o desenho do domínio — isso ajuda a evitar erros em provas sob pressão.
  • A função f é bem definida e real em todo D acima; em particular é contínua ponto a ponto no domínio, mas isso é só uma observação adicional.

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x>-7,\; y>0\}
(-7,\infty)\times(0,\infty)

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