Determine as curvas de nível de cada função
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar as curvas de nível.
Informações relevantes do enunciado:
Informações relevantes do enunciado:
- A função é
. - O pedido é: achar as curvas de nível, ou seja, os conjuntos de pontos
onde a função tem o mesmo valor constante.
Passo 2
O que é uma curva de nível (explicação didática):
- Para uma função de duas variáveis
, uma curva de nível associada ao valor constante é o conjunto de pontos que satisfazem
- Na prática, para achar as curvas de nível você substitui
por e resolve a equação obtida para escrever em função de (ou vice-versa). Isso dá uma família de curvas parametrizada por . - Essa família descreve todas as curvas de nível: cada valor de
corresponde a uma curva (ou conjunto de curvas) no plano.
Passo 3
Aplicando a definição ao caso dado: igualar a função a uma constante
:
Agora isolamos
para obter a forma mais clara da curva:
Passo 4
Interpretação geométrica e propriedades (aula prática para a prova):
- A equação
é a equação de uma parábola no plano . Especificamente, é uma parábola com concavidade voltada para baixo (coeficiente de é ). - O vértice da parábola é o ponto
(porque ao escrever a translação vertical é ). - A linha de simetria (eixo) da parábola é
(o eixo vertical). - Para
a parábola intersecta o eixo em (pois resolvendo dá 😉. Para não há interseção com o eixo . - Exemplos rápidos para fixar:
-
: curva , vértice em , corta o eixo em . -
: curva , vértice em . -
: curva , vértice em , sem interseção com o eixo .
-
- As curvas de nível para diferentes valores de
são parábolas paralelas (transladadas na direção vertical): aumentar desloca a parábola para cima, diminuir desloca para baixo.
Passo 5
Um pouco mais de teoria útil para a prova (gradiente e tangente):
- O gradiente de
é
- Propriedade importante: o gradiente é perpendicular à curva de nível em cada ponto. Isso pode ser verificado tomando a derivada implícita da equação
. - Diferenciando implicitamente em relação a
:
Esse é o coeficiente angular da tangente à curva de nível em
. O vetor tangente pode ser tomado como
. O produto escalar com o gradiente dá
confirmando a perpendicularidade entre
e a curva de nível.
Passo 6
Como esboçar rapidamente no prova (dicas práticas):
- Para desenhar algumas curvas de nível, escolha valores de
(por exemplo ), desenhe as parábolas marcando vértices e interseções com o eixo quando existirem. - Lembre que todas têm o mesmo formato (mesma “abertura”), apenas deslocadas verticalmente.
- Use a fórmula da derivada
para saber a inclinação da curva em pontos específicos (por exemplo, em a inclinação é ).
Passo 7
Resumo final objetivo antes da resposta: as curvas de nível de
são a família de parábolas
para cada constante real
.