Determine as curvas de nível de cada função
f(x, y)=x^{2}+y

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x^{2}+y e pede para determinar as curvas de nível.
Informações relevantes do enunciado:
  • A função é f(x,y)=x^{2}+y.
  • O pedido é: achar as curvas de nível, ou seja, os conjuntos de pontos (x,y) onde a função tem o mesmo valor constante.

Passo 2

O que é uma curva de nível (explicação didática):
  • Para uma função de duas variáveis f(x,y), uma curva de nível associada ao valor constante c é o conjunto de pontos (x,y) que satisfazem
f(x,y)=c.
  • Na prática, para achar as curvas de nível você substitui f(x,y) por c e resolve a equação obtida para escrever y em função de x (ou vice-versa). Isso dá uma família de curvas parametrizada por c.
  • Essa família descreve todas as curvas de nível: cada valor de c corresponde a uma curva (ou conjunto de curvas) no plano.

Passo 3

Aplicando a definição ao caso dado: igualar a função a uma constante c:
x^{2}+y=c.
Agora isolamos y para obter a forma mais clara da curva:
y=c - x^{2}.

Passo 4

Interpretação geométrica e propriedades (aula prática para a prova):
  • A equação \;y=c - x^{2}\; é a equação de uma parábola no plano xy. Especificamente, é uma parábola com concavidade voltada para baixo (coeficiente de x^{2} é -1).
  • O vértice da parábola é o ponto \;(0,c)\; (porque ao escrever y=-x^{2}+c a translação vertical é c).
  • A linha de simetria (eixo) da parábola é \;x=0\; (o eixo vertical).
  • Para c\ge 0 a parábola intersecta o eixo x em \;x=\pm\sqrt{c}\; (pois resolvendo c-x^{2}=0 \;x=\pm\sqrt{c}😉. Para \;c<0\; não há interseção com o eixo x.
  • Exemplos rápidos para fixar:
    • \;c=1: curva \;y=1-x^{2}\;, vértice em \;(0,1)\;, corta o eixo x em \;x=\pm1.
    • \;c=0: curva \;y=-x^{2}\;, vértice em \;(0,0).
    • \;c=-1: curva \;y=-1-x^{2}\;, vértice em \;(0,-1)\;, sem interseção com o eixo x.
  • As curvas de nível para diferentes valores de c são parábolas paralelas (transladadas na direção vertical): aumentar c desloca a parábola para cima, diminuir c desloca para baixo.

Passo 5

Um pouco mais de teoria útil para a prova (gradiente e tangente):
  • O gradiente de f é
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right)=(2x,\,1).
  • Propriedade importante: o gradiente é perpendicular à curva de nível em cada ponto. Isso pode ser verificado tomando a derivada implícita da equação x^{2}+y=c.
  • Diferenciando implicitamente em relação a x:
2x+\frac{dy}{dx}=0 \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx}=-2x.
Esse é o coeficiente angular da tangente à curva de nível em (x,y). O vetor tangente pode ser tomado como (1,\frac{dy}{dx})=(1,-2x). O produto escalar com o gradiente dá
(2x,1)\cdot(1,-2x)=2x-2x=0,
confirmando a perpendicularidade entre \nabla f e a curva de nível.

Passo 6

Como esboçar rapidamente no prova (dicas práticas):
  • Para desenhar algumas curvas de nível, escolha valores de c (por exemplo \;c=-1,0,1,2\;), desenhe as parábolas \;y=c-x^{2}\; marcando vértices e interseções com o eixo x quando existirem.
  • Lembre que todas têm o mesmo formato (mesma “abertura”), apenas deslocadas verticalmente.
  • Use a fórmula da derivada \;dy/dx=-2x\; para saber a inclinação da curva em pontos específicos (por exemplo, em \;x=1\; a inclinação é -2).

Passo 7

Resumo final objetivo antes da resposta: as curvas de nível de f são a família de parábolas \;y=c-x^{2}\; para cada constante real \;c.

Resposta

\displaystyle y=c-x^{2},\quad c\in\mathbb{R}

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