Represente graficamente o domínio da função z=f(x, y) dada por:
z=\ln \left(x^{2}+9 y^{2}-36\right)

Passo 1

O que o enunciado pede: representar graficamente o domínio da função z=f(x,y) dada por
z=\ln\!\left(x^{2}+9y^{2}-36\right).
Informações fornecidas:
  • A função é a função logarítmica natural aplicada à expressão x^{2}+9y^{2}-36.
  • Precisa-se do domínio em termos de (x,y) e de como desenhar/interpretar geometricamente esse domínio.

Passo 2

Condição básica para o argumento do logaritmo: a função \ln(t) está definida somente para t>0. Portanto o argumento deve satisfazer
x^{2}+9y^{2}-36>0.
Isto é a informação crucial: o domínio é o conjunto de todos os pontos (x,y) que tornam positiva essa expressão.

Passo 3

Reescrevendo a desigualdade em forma padrão de uma cônica, dividimos por 36:
\frac{x^{2}}{36}+\frac{9y^{2}}{36}>1 \qquad\Longrightarrow\qquad \frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{4}>1.
A igualdade correspondente
\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{4}=1
é a equação de uma elipse com centro na origem, semi-eixo maior a=6 ao longo do eixo x e semi-eixo menor b=2 ao longo do eixo y.

Passo 4

Interpretação geométrica passo a passo (como desenhar no papel):
  • Primeiro desenhe os eixos x e y e marque os pontos (\pm 6,0) e (0,\pm 2). Esses quatro pontos são os extremos da elipse.
  • Desenhe a elipse suave que passa por esses pontos; essa curva é a fronteira dada por \dfrac{x^{2}}{36}+\dfrac{y^{2}}{4}=1.
  • A desigualdade \dfrac{x^{2}}{36}+\dfrac{y^{2}}{4}>1 significa os pontos cujo valor da soma é maior que 1. Geometricamente, isso corresponde à região exterior à elipse (fora da elipse).
  • Como a desigualdade é estrita (>), a própria fronteira (a elipse) não pertence ao domínio — ou seja, a elipse é excluída.

Passo 5

Verificação com pontos simples (isso ajuda na prova para checar se a sombra está correta):
  • Ponto no interior, por exemplo (0,0): 0^{2}+9\cdot0^{2}-36=-36<0. Logo (0,0) não está no domínio (fica dentro da elipse).
  • Ponto fora, por exemplo (7,0): 7^{2}+9\cdot0^{2}-36=49-36=13>0. Logo (7,0) pertence ao domínio (fica fora da elipse).
  • Ponto sobre a fronteira, por exemplo (6,0): 6^{2}+0-36=0. Como o log não aceita zero, (6,0) não pertence ao domínio.

Passo 6

Conclusão e como apresentar graficamente na folha de prova:
  • Desenhe a elipse \dfrac{x^{2}}{36}+\dfrac{y^{2}}{4}=1 como linha contínua mas indique que a fronteira NÃO está incluída (por exemplo traçando-a e marcando com uma indicação “excluída” ou usando tracejado).
  • Sombreie ou indique a região exterior à elipse (até o infinito) como o domínio.
  • Escreva a descrição em notação de conjuntos para finalizar a resposta na prova.

Resposta

\displaystyle D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+9y^{2}-36>0\}=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid \frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{4}>1\right\}

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