Represente graficamente o domínio da função
dada por:
Passo 1
O que o enunciado pede: representar graficamente o domínio da função
dada por
Informações fornecidas:
- A função é a função logarítmica natural aplicada à expressão
. - Precisa-se do domínio em termos de
e de como desenhar/interpretar geometricamente esse domínio.
Passo 2
Condição básica para o argumento do logaritmo: a função
está definida somente para
. Portanto o argumento deve satisfazer
Isto é a informação crucial: o domínio é o conjunto de todos os pontos
que tornam positiva essa expressão.
Passo 3
Reescrevendo a desigualdade em forma padrão de uma cônica, dividimos por
:
A igualdade correspondente
é a equação de uma elipse com centro na origem, semi-eixo maior
ao longo do eixo
e semi-eixo menor
ao longo do eixo
.
Passo 4
Interpretação geométrica passo a passo (como desenhar no papel):
- Primeiro desenhe os eixos
e e marque os pontos e . Esses quatro pontos são os extremos da elipse. - Desenhe a elipse suave que passa por esses pontos; essa curva é a fronteira dada por
. - A desigualdade
significa os pontos cujo valor da soma é maior que . Geometricamente, isso corresponde à região exterior à elipse (fora da elipse). - Como a desigualdade é estrita
, a própria fronteira (a elipse) não pertence ao domínio — ou seja, a elipse é excluída.
Passo 5
Verificação com pontos simples (isso ajuda na prova para checar se a sombra está correta):
- Ponto no interior, por exemplo
: . Logo não está no domínio (fica dentro da elipse). - Ponto fora, por exemplo
: . Logo pertence ao domínio (fica fora da elipse). - Ponto sobre a fronteira, por exemplo
: . Como o log não aceita zero, não pertence ao domínio.
Passo 6
Conclusão e como apresentar graficamente na folha de prova:
- Desenhe a elipse
como linha contínua mas indique que a fronteira NÃO está incluída (por exemplo traçando-a e marcando com uma indicação “excluída” ou usando tracejado). - Sombreie ou indique a região exterior à elipse (até o infinito) como o domínio.
- Escreva a descrição em notação de conjuntos para finalizar a resposta na prova.