Mostre que um número inteiro
é par se e somente se
for par.
Passo 1
O que o problema pede e o que temos: o enunciado quer que eu mostre uma equivalência lógica entre duas propriedades de um número inteiro
:
- Propriedade
: " é par". - Propriedade
: " é par".
Precisamos provar que
acontece exatamente quando
acontece, ou seja, provar as duas implicações separadas:
- Se
então . (Se é par então é par.) - Se
então . (Se é par então é par.)
Também vou usar que
é um inteiro (isto foi dado implicitamente: "número inteiro
").
Passo 2
Definições básicas (super importantes — memorizando essas você resolve muita prova):
- Dizer que um inteiro
é par significa que existe um inteiro tal que .
Ou seja, par = "divisível por". - Dizer que um inteiro
é ímpar significa que existe um inteiro tal que .
Aqui
sempre será um número inteiro; quando escrevo
quero dizer isso (inteiro positivo, negativo ou zero).
Passo 3
Prova da primeira implicação: “Se
é par então
é par”.
- Começo assumindo que
é par. Pela definição de par, existe um inteiro tal que
- Calculo
:
- Escrevo
como vezes um inteiro:
Aqui
é um inteiro porque produto de inteiros é inteiro. Logo
é igual a
multiplicado por um inteiro, isto é,
é par (pela definição de par).
Portanto a primeira implicação está provada.
Passo 4
Um exemplo numérico rápido só para fixar a intuição: se
(par), então
e
é par. Isso ilustra a ideia algebraica do passo anterior.
Passo 5
Prova da segunda implicação: “Se
é par então
é par”.
Vou usar a técnica do contraporpositiva porque é direta e limpa: a afirmação "se
então
" é logicamente equivalente à sua contraporpositiva "se não
então não
". No nosso caso isso significa provar que
- se
é ímpar então é ímpar.
Prova disso:
- Parto assumindo que
é ímpar. Pela definição, existe um inteiro tal que
- Calculo
:
- Agrupo termos para mostrar a forma "
vezes inteiro mais ":
Como
é inteiro, isto mostra que
tem a forma
, portanto
é ímpar.
- Conclusão lógica: provamos que “se
é ímpar então é ímpar”. Pela equivalência lógica da contrapositive, isso dá a implicação desejada: “se é par então é par”.
Passo 6
Juntando os resultados dos passos anteriores:
- do Passo 3 temos
, - do Passo 5 temos
.
Como as duas implicações valem, concluímos que
e
são logicamente equivalentes.
Passo 7
Dica prática para prova: muitas vezes é mais simples provar a segunda implicação usando a contrapositive (como fiz aqui) ou provar diretamente que “se
é ímpar então
é ímpar” — ambos são curtos. Sempre escreva claramente a definição de par/ímpar e exponha a variável inteira
; isso deixa a solução limpinha para o corretor.