Mostre que um número inteiro a é par se e somente se a^{2} for par.

Passo 1

O que o problema pede e o que temos: o enunciado quer que eu mostre uma equivalência lógica entre duas propriedades de um número inteiro a:
  • Propriedade P: " a é par".
  • Propriedade Q: " a^{2} é par".
Precisamos provar que P acontece exatamente quando Q acontece, ou seja, provar as duas implicações separadas:
  1. Se P então Q. (Se a é par então a^{2} é par.)
  2. Se Q então P. (Se a^{2} é par então a é par.)
Também vou usar que a é um inteiro (isto foi dado implicitamente: "número inteiro a").

Passo 2

Definições básicas (super importantes — memorizando essas você resolve muita prova):
  • Dizer que um inteiro n é par significa que existe um inteiro k tal que n=2k.
    Ou seja, par = "divisível por 2".
  • Dizer que um inteiro n é ímpar significa que existe um inteiro k tal que n=2k+1.
Aqui k sempre será um número inteiro; quando escrevo k\in\mathbb{Z} quero dizer isso (inteiro positivo, negativo ou zero).

Passo 3

Prova da primeira implicação: “Se a é par então a^{2} é par”.
  • Começo assumindo que a é par. Pela definição de par, existe um inteiro k tal que
a=2k.
  • Calculo a^{2}:
a^{2}=(2k)^{2}=4k^{2}.
  • Escrevo 4k^{2} como 2 vezes um inteiro:
4k^{2}=2\cdot(2k^{2}).
Aqui 2k^{2} é um inteiro porque produto de inteiros é inteiro. Logo a^{2} é igual a 2 multiplicado por um inteiro, isto é, a^{2} é par (pela definição de par).
Portanto a primeira implicação está provada.

Passo 4

Um exemplo numérico rápido só para fixar a intuição: se a=6 (par), então a^{2}=36 e 36=2\cdot 18 é par. Isso ilustra a ideia algebraica do passo anterior.

Passo 5

Prova da segunda implicação: “Se a^{2} é par então a é par”.
Vou usar a técnica do contraporpositiva porque é direta e limpa: a afirmação "se Q então P" é logicamente equivalente à sua contraporpositiva "se não P então não Q". No nosso caso isso significa provar que
  • se a é ímpar então a^{2} é ímpar.
Prova disso:
  • Parto assumindo que a é ímpar. Pela definição, existe um inteiro k tal que
a=2k+1.
  • Calculo a^{2}:
a^{2}=(2k+1)^{2}=4k^{2}+4k+1.
  • Agrupo termos para mostrar a forma " 2 vezes inteiro mais 1 ":
4k^{2}+4k+1=2\cdot(2k^{2}+2k)+1.
Como 2k^{2}+2k é inteiro, isto mostra que a^{2} tem a forma 2\cdot(\text{inteiro})+1, portanto a^{2} é ímpar.
  • Conclusão lógica: provamos que “se a é ímpar então a^{2} é ímpar”. Pela equivalência lógica da contrapositive, isso dá a implicação desejada: “se a^{2} é par então a é par”.

Passo 6

Juntando os resultados dos passos anteriores:
  • do Passo 3 temos P\Rightarrow Q,
  • do Passo 5 temos Q\Rightarrow P.
Como as duas implicações valem, concluímos que P e Q são logicamente equivalentes.

Passo 7

Dica prática para prova: muitas vezes é mais simples provar a segunda implicação usando a contrapositive (como fiz aqui) ou provar diretamente que “se a é ímpar então a^{2} é ímpar” — ambos são curtos. Sempre escreva claramente a definição de par/ímpar e exponha a variável inteira k; isso deixa a solução limpinha para o corretor.

Resposta

a é par \Leftrightarrow a^{2} é par.

Exercícios relacionados