Usando o Algoritmo da Divisāo, mostre que:
o cubo de todo inteiro é da forma 9 k ou 9 k+1 ou 9 k+8;

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para todo inteiro n, o cubo n^3 tem uma das formas
9k,\qquad 9k+1,\qquad 9k+8
para algum inteiro k. As informações dadas (implícitas) que vou usar são apenas que n é um inteiro arbitrário e que posso aplicar o Algoritmo da Divisão com divisor 9 (ou seja, dividir n por 9 e olhar o quociente e resto).

Passo 2

Explicando o Algoritmo da Divisão (passo-a-passo):
  • O Algoritmo da Divisão diz que, para qualquer inteiro n e todo inteiro positivo d (aqui d=9), existem inteiros únicos q (quociente) e r (resto) tais que
n = 9q + r
e
0 \le r \le 8.
  • Em palavras: ao dividir n por 9 obtém-se um quociente q e um resto r que é um dos inteiros 0,1,2,\dots,8. Exemplo concreto: se n=20, então 20=9\cdot2+2 e aqui q=2, r=2.
Portanto podemos escrever, para o nosso n,
n = 9q + r \quad\text{com}\quad r\in\{0,1,2,\dots,8\}.

Passo 3

Agora vou usar a identidade do cubo de uma soma. A fórmula algébrica (caso básico que todo mundo decorou ou pode relembrar) é:
(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3.
Aqui tomo a=9q e b=r. Aplicando a fórmula:
n^3 = (9q+r)^3 = (9q)^3 + 3(9q)^2 r + 3(9q) r^2 + r^3.
Calcule cada termo e observe fatores 9:
(9q)^3 = 729 q^3 = 9\cdot(81 q^3),
3(9q)^2 r = 3\cdot81 q^2 r = 243 q^2 r = 9\cdot(27 q^2 r),
3(9q) r^2 = 27 q r^2 = 9\cdot(3 q r^2).
Assim os três primeiros termos são múltiplos de 9. Logo podemos escrever
n^3 = 9\bigl(81 q^3 + 27 q^2 r + 3 q r^2\bigr) + r^3.
Chamando K = 81 q^3 + 27 q^2 r + 3 q r^2 (que é inteiro), obtemos
n^3 = 9K + r^3.
Isto mostra que, ao dividir n^3 por 9, o resto é exatamente o mesmo que o resto de r^3 ao dividir por 9. Em termos simples: o resto de n^3 em divisão por 9 depende só de r\in\{0,\dots,8\}.

Passo 4

Agora preciso estudar todas as possibilidades de r (são só 9 casos). Vou calcular r^3 e reduzir módulo 9 (isto é, ver o resto da divisão por 9) para cada r=0,1,\dots,8. Faço as contas explícitas e simples:
  • Para r=0: r^3 = 0^3 = 0. Resto ao dividir por 9: 0.
  • Para r=1: r^3 = 1^3 = 1. Resto: 1.
  • Para r=2: r^3 = 2^3 = 8. Resto: 8.
  • Para r=3: r^3 = 3^3 = 27. Como 27 = 9\cdot3, o resto é 0.
  • Para r=4: r^3 = 4^3 = 64. Como 64 = 9\cdot7 + 1, o resto é 1.
  • Para r=5: r^3 = 5^3 = 125. Como 125 = 9\cdot13 + 8, o resto é 8.
  • Para r=6: r^3 = 6^3 = 216. Como 216 = 9\cdot24, o resto é 0.
  • Para r=7: r^3 = 7^3 = 343. Como 343 = 9\cdot38 + 1, o resto é 1.
  • Para r=8: r^3 = 8^3 = 512. Como 512 = 9\cdot56 + 8, o resto é 8.
Resumo: os possíveis restos de r^3 (e portanto de n^3) ao dividir por 9 são apenas 0, 1 e 8.
Obs. rápida e útil: note que 8\equiv -1 \pmod{9}, então informalmente os restos são 0,1,-1, mas aqui estamos escrevendo-os como 0,1,8 para manter a forma 9k, 9k+1, 9k+8.

Passo 5

Interpretando o que acabou de ser mostrado: como n^3 = 9K + r^3 com r^3 tendo resto 0, 1 ou 8 ao dividir por 9, segue que n^3 pode ser escrito como 9\tilde K (quando o resto é 0), ou 9\tilde K + 1 (quando o resto é 1), ou 9\tilde K + 8 (quando o resto é 8), para algum inteiro \tilde K. Ou seja, n^3 é sempre de uma das formas pedidas.
Pequeno exemplo para fixar: pegue n=7. Dividindo por 9 7=9\cdot0+7, com r=7. Fizemos acima 7^3=343=9\cdot38+1, portanto 7^3 é da forma 9k+1 (com k=38).

Resposta

n^3 é sempre da forma 9k ou 9k+1 ou 9k+8 para algum inteiro k.

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