Usando o Algoritmo da Divisāo, mostre que:
o cubo de todo inteiro é da forma
ou
ou
;
o cubo de todo inteiro é da forma
Passo 1
O enunciado pede para provar que, para todo inteiro
, o cubo
tem uma das formas
para algum inteiro
. As informações dadas (implícitas) que vou usar são apenas que
é um inteiro arbitrário e que posso aplicar o Algoritmo da Divisão com divisor
(ou seja, dividir
por
e olhar o quociente e resto).
Passo 2
Explicando o Algoritmo da Divisão (passo-a-passo):
- O Algoritmo da Divisão diz que, para qualquer inteiro
e todo inteiro positivo (aqui ), existem inteiros únicos (quociente) e (resto) tais que
e
- Em palavras: ao dividir
por obtém-se um quociente e um resto que é um dos inteiros . Exemplo concreto: se , então e aqui , .
Portanto podemos escrever, para o nosso
,
Passo 3
Agora vou usar a identidade do cubo de uma soma. A fórmula algébrica (caso básico que todo mundo decorou ou pode relembrar) é:
Aqui tomo
e
. Aplicando a fórmula:
Calcule cada termo e observe fatores
:
Assim os três primeiros termos são múltiplos de
. Logo podemos escrever
Chamando
(que é inteiro), obtemos
Isto mostra que, ao dividir
por
, o resto é exatamente o mesmo que o resto de
ao dividir por
. Em termos simples: o resto de
em divisão por
depende só de
.
Passo 4
Agora preciso estudar todas as possibilidades de
(são só 9 casos). Vou calcular
e reduzir módulo
(isto é, ver o resto da divisão por
) para cada
. Faço as contas explícitas e simples:
- Para
: . Resto ao dividir por : . - Para
: . Resto: . - Para
: . Resto: . - Para
: . Como , o resto é . - Para
: . Como , o resto é . - Para
: . Como , o resto é . - Para
: . Como , o resto é . - Para
: . Como , o resto é . - Para
: . Como , o resto é .
Resumo: os possíveis restos de
(e portanto de
) ao dividir por
são apenas
,
e
.
Obs. rápida e útil: note que
, então informalmente os restos são
, mas aqui estamos escrevendo-os como
para manter a forma
,
,
.
Passo 5
Interpretando o que acabou de ser mostrado: como
com
tendo resto
,
ou
ao dividir por
, segue que
pode ser escrito como
(quando o resto é
), ou
(quando o resto é
), ou
(quando o resto é
), para algum inteiro
. Ou seja,
é sempre de uma das formas pedidas.
Pequeno exemplo para fixar: pegue
. Dividindo por
dá
, com
. Fizemos acima
, portanto
é da forma
(com
).