Represente graficamente o domínio da função z=f(x, y) dada por:
f(x, y, z)=\ln \left(-x^{2}-y^{2}-z^{2}+9\right)

Passo 1

O enunciado pede para representar graficamente o domínio da função dada. Informações do enunciado:
  • A função é dada por f(x,y,z)=\ln\bigl(-x^{2}-y^{2}-z^{2}+9\bigr).
  • A tarefa é desenhar (ou descrever) o conjunto de pontos (x,y,z) onde f está definida, isto é, o domínio da função.

Passo 2

Entender o que significa o domínio quando aparece uma função logarítmica. A função logarítmica natural \ln(t) está definida somente quando o argumento t é positivo. Portanto, para que f(x,y,z) exista é necessário que o argumento do log seja maior que zero. Em linguagem matemática:
-x^{2}-y^{2}-z^{2}+9>0.

Passo 3

Isolar os termos para obter uma desigualdade mais familiar. Somando x^{2}+y^{2}+z^{2} em ambos os lados obtemos:
9> x^{2}+y^{2}+z^{2},
ou equivalentemente
x^{2}+y^{2}+z^{2}<9.

Passo 4

Interpretar geometricamente a desigualdade \;x^{2}+y^{2}+z^{2}<9\;. Esta é a equação (no caso, desigualdade) conhecida da bola (esfera sólida) centrada na origem. Em termos geométricos:
  • A equação x^{2}+y^{2}+z^{2}=9 descreve a esfera de raio 3 centrada em (0,0,0).
  • A desigualdade estrita x^{2}+y^{2}+z^{2}<9 descreve todos os pontos estritamente dentro dessa esfera, ou seja, a bola aberta de raio 3.

Passo 5

Diferenciar superfície e interior (importante para desenho e para a definição do domínio). Como o argumento do \ln deve ser estritamente positivo, a igualdade x^{2}+y^{2}+z^{2}=9 não pertence ao domínio (porque aí o argumento seria zero e \ln(0) é indefinido). Logo:
  • A superfície da esfera (raio 3) está excluída do domínio.
  • Somente os pontos internos à esfera estão no domínio.

Passo 6

Dar instruções práticas para representar graficamente:
  • Desenhe uma esfera centrada na origem com raio 3.
  • Pinte (ou sombree) o interior da esfera para indicar que estes pontos pertencem ao domínio.
  • Trace a superfície da esfera com linha tracejada ou pontilhada para indicar que ela não pertence ao domínio (excluída).
  • Se fizer cortes (seções) para visualização: a interseção com o plano z=c é o disco
x^{2}+y^{2}<9-c^{2},
válido quando |c|<3. Isso ajuda a visualizar a esfera por fatias circulares.

Passo 7

Explicar como usar cortes horizontais para entender melhor (dica de visualização):
  • Para cada valor fixo de z com |z|<3, o domínio na reta horizontal z= constante é um disco de raio \sqrt{9-z^{2}}.
  • Quando z se aproxima de 3 (ou -3), o raio do disco tende a zero — a esfera fecha-se na ponta.
  • Para |z|\ge 3 não há pontos do domínio, pois o raio do disco seria imaginário ou zero (no caso de igual a zero, o ponto está na superfície e portanto não pertence).

Passo 8

Exemplos de pontos para checar entendimento:
  • O ponto (0,0,0) satisfaz 0<9, logo pertence ao domínio.
  • O ponto (2,2,2) tem 2^{2}+2^{2}+2^{2}=12, maior que 9, logo está fora do domínio.
  • O ponto (3,0,0) satisfaz 3^{2}=9, está na superfície e portanto é excluído do domínio.

Passo 9

Resumo final e observações úteis para a prova:
  • A condição básica foi usar que o argumento do \ln deve ser >0.
  • Transformando a desigualdade obteve-se a expressão conhecida de uma bola aberta.
  • Ao desenhar, lembrar: interior sombreado, superfície riscada/dashada (excluída).

Resposta

\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}<9\}

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