Represente graficamente o domínio da função
dada por:
Passo 1
O enunciado pede para representar graficamente o domínio da função dada. Informações do enunciado:
- A função é dada por
. - A tarefa é desenhar (ou descrever) o conjunto de pontos
onde está definida, isto é, o domínio da função.
Passo 2
Entender o que significa o domínio quando aparece uma função logarítmica. A função logarítmica natural
está definida somente quando o argumento
é positivo. Portanto, para que
exista é necessário que o argumento do log seja maior que zero. Em linguagem matemática:
Passo 3
Isolar os termos para obter uma desigualdade mais familiar. Somando
em ambos os lados obtemos:
ou equivalentemente
Passo 4
Interpretar geometricamente a desigualdade
. Esta é a equação (no caso, desigualdade) conhecida da bola (esfera sólida) centrada na origem. Em termos geométricos:
- A equação
descreve a esfera de raio centrada em . - A desigualdade estrita
descreve todos os pontos estritamente dentro dessa esfera, ou seja, a bola aberta de raio .
Passo 5
Diferenciar superfície e interior (importante para desenho e para a definição do domínio). Como o argumento do
deve ser estritamente positivo, a igualdade
não pertence ao domínio (porque aí o argumento seria zero e
é indefinido). Logo:
- A superfície da esfera (raio
) está excluída do domínio. - Somente os pontos internos à esfera estão no domínio.
Passo 6
Dar instruções práticas para representar graficamente:
- Desenhe uma esfera centrada na origem com raio
. - Pinte (ou sombree) o interior da esfera para indicar que estes pontos pertencem ao domínio.
- Trace a superfície da esfera com linha tracejada ou pontilhada para indicar que ela não pertence ao domínio (excluída).
- Se fizer cortes (seções) para visualização: a interseção com o plano
é o disco
válido quando
. Isso ajuda a visualizar a esfera por fatias circulares.
Passo 7
Explicar como usar cortes horizontais para entender melhor (dica de visualização):
- Para cada valor fixo de
com , o domínio na reta horizontal constante é um disco de raio . - Quando
se aproxima de (ou ), o raio do disco tende a zero — a esfera fecha-se na ponta. - Para
não há pontos do domínio, pois o raio do disco seria imaginário ou zero (no caso de igual a zero, o ponto está na superfície e portanto não pertence).
Passo 8
Exemplos de pontos para checar entendimento:
- O ponto
satisfaz , logo pertence ao domínio. - O ponto
tem , maior que , logo está fora do domínio. - O ponto
satisfaz , está na superfície e portanto é excluído do domínio.
Passo 9
Resumo final e observações úteis para a prova:
- A condição básica foi usar que o argumento do
deve ser . - Transformando a desigualdade obteve-se a expressão conhecida de uma bola aberta.
- Ao desenhar, lembrar: interior sombreado, superfície riscada/dashada (excluída).