Represente graficamente o domínio da função z=f(x, y) dada por
z=\frac{\sqrt{x+y+1}}{x-1}

Passo 1

O enunciado nos dá a função de duas variáveis
f(x,y)=\frac{\sqrt{x+y+1}}{x-1}
e pede para representarmos graficamente o domínio, ou seja, o conjunto de pontos (x,y) em que essa expressão está bem definida. Vamos precisar garantir duas coisas: dentro da raiz só podem aparecer valores não negativos e o denominador não pode ser zero.

Passo 2

Para que a raiz quadrada exista em \mathbb{R}, o radicando deve satisfazer
x+y+1\ge 0\,.
Reescrevendo, isso significa
y\ge -x-1.
Geometricamente, essa é a região no plano (x,y) que está acima da reta de equação
y=-x-1,
incluindo a própria reta (pois permitimos igualdade).

Passo 3

Para que o denominador não anule a expressão, exigimos
x-1\neq 0\quad\Longrightarrow\quad x\neq 1.
Ou seja, devemos remover do domínio toda a reta vertical de equação x=1.

Passo 4

Combinando as duas condições, o domínio de f é
D = \bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y\ge -x-1,\;x\neq 1\bigr\}.
Em termos de desenho:
  1. Traçar a reta sólida y=-x-1 e sombrear a região acima dela.
  2. Marcar a reta vertical x=1 como pontilhada (ou riscada) para indicar que todos os pontos com x=1 estão excluídos, mesmo que satisfaçam y\ge -x-1.

Resposta

O domínio de
f(x,y)=\frac{\sqrt{x+y+1}}{x-1}
é
\bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y\ge -x-1,\;x\neq 1\bigr\},
ou seja, o semiplano acima (e sobre) a reta y=-x-1, com a reta vertical x=1 removida.

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