Represente graficamente o domínio da função z=f(x, y) dada por
z=\sqrt{\frac{1+x}{1+y}}

Passo 1

O enunciado pede para desenhar no plano (x,y) o conjunto dos pontos onde a função
z = \sqrt{\frac{1+x}{1+y}}
está bem definida. O conteúdo de matéria é análise de domínio de funções de duas variáveis, e vamos precisar impor que o quociente dentro da raiz seja não-negativo e que o denominador não se anule.

Passo 2

Identificamos as duas condições para \sqrt{\;\cdot\;} ser real:
  1. O denominador não pode ser zero, isto é
1 + y \neq 0.
  1. O argumento da raiz deve ser maior ou igual a zero, ou seja
\frac{1 + x}{1 + y} \ge 0.

Passo 3

Para resolver
\frac{1 + x}{1 + y} \ge 0
e 1+y\neq0, analisamos o sinal de numerador e denominador:
  • Caso 1: 1+x \ge 0 e 1+y>0.
    Isso dá
x \ge -1 \quad\text{e}\quad y > -1.
  • Caso 2: 1+x \le 0 e 1+y<0.
    Isso dá
x \le -1 \quad\text{e}\quad y < -1.

Passo 4

Logo, o domínio D\subset\mathbb{R}^2 é a união dessas duas regiões:
D = \bigl\{(x,y)\mid x \ge -1,\;y > -1\bigr\} \;\cup\; \bigl\{(x,y)\mid x \le -1,\;y < -1\bigr\}.
Note que a reta y=-1 está totalmente excluída (denominador zero), enquanto a reta x=-1 pertence ao domínio (numerador zero gera raiz zero), exceto no ponto (-1,-1), que já está excluído com y=-1.

Passo 5

Graficamente, trace as linhas verticais x=-1 e horizontais y=-1. O domínio corresponde a:
  • Região fechada à direita de x=-1 e estritamente acima de y=-1.
  • Região fechada à esquerda de x=-1 e estritamente abaixo de y=-1.
    Em particular, as duas “porções” não se tocam porque y=-1 não faz parte de D.

Resposta

O domínio de z=\sqrt{\frac{1+x}{1+y}} é
D = \{(x,y)\mid x \ge -1,\;y > -1\} \;\cup\; \{(x,y)\mid x \le -1,\;y < -1\}.

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