Represente graficamente o domínio das seguintes funções:
Passo 1
O que o enunciado pede: representar graficamente o domínio da função
Informações dadas (o que aparece na função):
- Há uma raiz quadrada
. - Há um logaritmo natural
.
O objetivo é descobrir para quais pares
a expressão acima está bem definida — ou seja, montar o conjunto de todos os pontos
permitidos e descrever/representar esse conjunto no plano.
Passo 2
Condição imposta pela raiz quadrada.
Regra: uma raiz quadrada real está definida quando o radicando satisfaz
.
Regra: uma raiz quadrada real
Aplicando ao nosso caso:
Resolver essa desigualdade:
Interpretação: a raiz limita apenas a coordenada
. Qualquer
é permitido por essa condição, desde que
esteja entre
e
(inclusive). Geometricamente isso é uma faixa vertical (um “strip”) no plano delimitada pelas retas
e
, e essas bordas fazem parte do domínio porque o sinal é
.
Passo 3
Condição imposta pelo logaritmo.
Regra: o logaritmo natural está definido apenas para
(estritamente positivo).
Regra: o logaritmo natural
Aqui o argumento é
, logo exige-se
Isolando
:
Interpretação: isso descreve um semiplano aberto do plano cartesiano — todos os pontos estritamente acima da reta
. A reta
não pertence ao domínio (porque aí o argumento do ln seria zero).
Passo 4
Combinação das duas condições. O domínio é a interseção da faixa vertical obtida no Passo 2 com o semiplano obtido no Passo 3. Assim
Descrição geométrica clara para desenhar:
- Desenhe as retas verticais
e . Marque-as como linhas sólidas (contidas no domínio). - Desenhe a reta
. Marque-a como linha tracejada ou contínua cortada (não incluída no domínio). - O domínio é a região situada entre as duas retas verticais (inclusive as bordas verticais), mas apenas a parte dessa faixa que fica acima da reta
. Ou seja, dentro do retângulo infinito vertical entre e , sombreie somente a parte que está estritamente acima de . - Exemplos rápidos para checar:
-
: OK, — na verdade , logo NÃO está no domínio (está sobre a reta excluída). -
: OK, — está no domínio. -
: está em e é verdadeiro — está no domínio. -
: OK (bordo permitido), mas é falso — não está no domínio.
-
Observação sobre as bordas: as linhas
e
pertencem ao domínio; a reta
não pertence (strict). Em pontos com
o termo
fica zero, mas isso é permitido desde que
.
Passo 5
Resumo visual passo a passo para desenhar (um memorando prático para a prova):
- Trace retas verticais sólidas em
e . - Trace a reta
(como tracejada para indicar que não é incluída). - Pinte (ou sombreie) a região que fica entre as duas retas verticais e que está estritamente acima da reta
.