Represente graficamente o domínio das seguintes funções:
f(x, y)=\sqrt{9-x^{2}}+\ln (2 x+y)

Passo 1

O que o enunciado pede: representar graficamente o domínio da função
f(x,y)=\sqrt{9-x^{2}}+\ln(2x+y).
Informações dadas (o que aparece na função):
  • Há uma raiz quadrada \sqrt{9-x^{2}}.
  • Há um logaritmo natural \ln(2x+y).
O objetivo é descobrir para quais pares (x,y)\in\mathbb{R}^2 a expressão acima está bem definida — ou seja, montar o conjunto de todos os pontos (x,y) permitidos e descrever/representar esse conjunto no plano.

Passo 2

Condição imposta pela raiz quadrada.
Regra: uma raiz quadrada real \sqrt{A} está definida quando o radicando satisfaz A\ge 0.
Aplicando ao nosso caso:
9-x^{2}\ge 0.
Resolver essa desigualdade:
x^{2}\le 9 \quad\Longrightarrow\quad -3\le x\le 3.
Interpretação: a raiz limita apenas a coordenada x. Qualquer y é permitido por essa condição, desde que x esteja entre -3 e 3 (inclusive). Geometricamente isso é uma faixa vertical (um “strip”) no plano delimitada pelas retas x=-3 e x=3, e essas bordas fazem parte do domínio porque o sinal é \ge.

Passo 3

Condição imposta pelo logaritmo.
Regra: o logaritmo natural \ln(B) está definido apenas para B>0 (estritamente positivo).
Aqui o argumento é 2x+y, logo exige-se
2x+y>0.
Isolando y:
y>-2x.
Interpretação: isso descreve um semiplano aberto do plano cartesiano — todos os pontos estritamente acima da reta y=-2x. A reta y=-2x não pertence ao domínio (porque aí o argumento do ln seria zero).

Passo 4

Combinação das duas condições. O domínio é a interseção da faixa vertical obtida no Passo 2 com o semiplano obtido no Passo 3. Assim
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid -3\le x\le 3,\\ y>-2x\}.
Descrição geométrica clara para desenhar:
  • Desenhe as retas verticais x=-3 e x=3. Marque-as como linhas sólidas (contidas no domínio).
  • Desenhe a reta y=-2x. Marque-a como linha tracejada ou contínua cortada (não incluída no domínio).
  • O domínio é a região situada entre as duas retas verticais (inclusive as bordas verticais), mas apenas a parte dessa faixa que fica acima da reta y=-2x. Ou seja, dentro do retângulo infinito vertical entre x=-3 e x=3, sombreie somente a parte que está estritamente acima de y=-2x.
  • Exemplos rápidos para checar:
    • (0,0): x=0 OK, y=0>-2\cdot0=0 — na verdade 0\not>0, logo (0,0) NÃO está no domínio (está sobre a reta excluída).
    • (0,1): x=0 OK, 1>0 — está no domínio.
    • (2,-3): x=2 está em [-3,3] e -3>-4 é verdadeiro — está no domínio.
    • (3,-7): x=3 OK (bordo permitido), mas -7>-6 é falso — não está no domínio.
Observação sobre as bordas: as linhas x=-3 e x=3 pertencem ao domínio; a reta y=-2x não pertence (strict). Em pontos com x=\pm 3 o termo \sqrt{9-x^{2}} fica zero, mas isso é permitido desde que y>-2x.

Passo 5

Resumo visual passo a passo para desenhar (um memorando prático para a prova):
  1. Trace retas verticais sólidas em x=-3 e x=3.
  2. Trace a reta y=-2x (como tracejada para indicar que não é incluída).
  3. Pinte (ou sombreie) a região que fica entre as duas retas verticais e que está estritamente acima da reta y=-2x.

Resposta

D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid -3\le x\le 3,\\ y>-2x\}.

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