Exercício 2 - Resolva os problemas de valor inicial: y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=t^{2}+3, y(0)=0, y^{\prime}(0)=0;
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial dado por
y''+y'-2y=t^{2}+3,
com as condições iniciais
y(0)=0,\qquad y'(0)=0.
Vou encontrar a solução y(t) que satisfaz a equação diferencial e essas condições iniciais.
Passo 2
Primeiro vamos resolver a equação homogênea associada (ou seja, sem o termo do lado direito). A homogênea é
y''+y'-2y=0.
Para equações lineares com coeficientes constantes procuramos soluções do tipo y=e^{rt}. Substituindo na homogênea obtém-se a equação característica
r^{2}+r-2=0.
Resolvendo essa equação quadrática:
r=\frac{-1\pm\sqrt{1+8}}{2}=\frac{-1\pm3}{2},
logo os dois raízes são r_{1}=1 e r_{2}=-2. Portanto a solução geral da homogênea é
y_{h}(t)=C_{1}e^{t}+C_{2}e^{-2t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular y_{p}(t) da equação completa
y''+y'-2y=t^{2}+3.
O lado direito é um polinômio de grau 2, então pelo método dos coeficientes a determinar tentamos um polinômio de grau 2 como candidato:
y_{p}(t)=at^{2}+bt+c,
onde a,b,c são constantes a determinar. (Explicação rápida: esse é o palpite padrão — um polinômio do mesmo grau do termo não-homogêneo — e ele não coincide com soluções da homogênea porque a homogênea tem expoenciais e^{t} e e^{-2t}, não polinômios.)
Passo 4
Calculemos as derivadas de y_{p} e substituamos na equação:
y_{p}'(t)=2at+b,\qquad y_{p}''(t)=2a.
Substituindo em y''+y'-2y obtemos
2a+(2at+b)-2(at^{2}+bt+c).
Organizando por potências de t:
-2a\,t^{2}+(2a-2b)\,t+(2a+b-2c).
Este polinômio deve ser igual ao lado direito t^{2}+3. Igualando coeficientes para cada potência de t temos o sistema
\begin{cases} \text{coeficiente de }t^{2}: & -2a=1,\\[4pt] \text{coeficiente de }t: & 2a-2b=0,\\[4pt] \text{constante:} & 2a+b-2c=3. \end{cases}]
Passo 5
Resolva o sistema para a,b,c.
Da primeira equação: