Exercício 3 - Encontre uma forma adequada para uma solução particular da equação
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+\gamma y=t e^{-t} \operatorname{sen}(\sqrt{\gamma-1} t) \text { para } \gamma>1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y''+2y'+\gamma y = t e^{-t}\sin\!\big(\sqrt{\gamma-1}\,t\big),\qquad \gamma>1,
e pede que se encontre “uma forma adequada para uma solução particular”.\n
Informações úteis extraídas do enunciado:
  • O termo do lado direito é um produto de três fatores: um polinômio em t (que é t, grau 1), uma exponencial e^{-t} e uma função trigonométrica \sin\!\big(\sqrt{\gamma-1}\,t\big).
  • O parâmetro \gamma satisfaz \gamma>1, então \sqrt{\gamma-1} é real e positivo.
  • O objetivo é propor um formato (ansatz) apropriado para uma solução particular y_p(t) que permita determinar as constantes por coeficientes a determinar.

Passo 2

Por etapa didática: lembrar a regra prática do método dos coeficientes indeterminados (explicação passo a passo, sem pular):
  • Quando a forçante tem a forma P_k(t)e^{\alpha t}\cos(\beta t) ou P_k(t)e^{\alpha t}\sin(\beta t), onde P_k é um polinômio de grau k, o ansatz padrão é
y_p(t)=e^{\alpha t}\big(Q_k(t)\cos(\beta t)+R_k(t)\sin(\beta t)\big),
onde Q_k e R_k são polinômios de grau k com coeficientes indeterminados.\n
  • Se \alpha+i\beta (ou sua conjugada) é raiz do polinômio característico da equação homogênea com multiplicidade s\ge1, então é necessário multiplicar o ansatz por t^{s} (essa é a correção de ressonância).
Vou explicar o que significam as peças dessa regra:
  • P_k(t) é o polinômio que aparece na forçante; seu grau determina o grau dos polinômios Q_k e R_k que usamos no palpite.
  • e^{\alpha t}\cos(\beta t) e e^{\alpha t}\sin(\beta t) aparecem porque exponencial vezes seno/cosseno correspondem a raízes complexas \alpha\pm i\beta da equação característica.
  • A multiplicação por t^{s} evita que o ansatz seja solução da homogênea (caso contrário teríamos ressonância e não conseguiríamos determinar coeficientes).

Passo 3

Aplicar isso ao nosso caso: identifiquemos os parâmetros da forçante.
  • O fator exponencial é e^{-t}, então \alpha=-1.
  • A oscilação é \sin\!\big(\sqrt{\gamma-1}\,t\big), então \beta=\sqrt{\gamma-1}.
  • O polinômio multiplicador é t, logo tem grau k=1.
Agora precisamos saber se \alpha+i\beta = -1 + i\sqrt{\gamma-1} é raiz do polinômio característico da parte homogênea. A equação homogênea é
y''+2y'+\gamma y=0,
com polinômio característico
r^{2}+2r+\gamma=0.
As raízes desse polinômio são
r = \frac{-2\pm\sqrt{4-4\gamma}}{2} = -1 \pm i\sqrt{\gamma-1},
já que \gamma>1. Portanto -1\pm i\sqrt{\gamma-1} são exatamente as raízes complexas simples da homogênea.

Passo 4

Conclusão sobre ressonância: como \alpha+i\beta=-1+i\sqrt{\gamma-1} é raiz da equação característica, e essa raiz é simples (multiplicidade s=1), a regra manda multiplicar o ansatz padrão por t^{s}=t.
Sem a correção de ressonância o ansatz seria
y_p(t)=e^{-t}\big(Q_1(t)\cos(\beta t)+R_1(t)\sin(\beta t)\big),
com Q_1 e R_1 polinômios de grau 1. Pela ressonância (multiplicidade 1) deve-se multiplicar por t, obtendo
y_p(t)=t\,e^{-t}\big(Q_1(t)\cos(\beta t)+R_1(t)\sin(\beta t)\big).

Passo 5

Escrever explicitamente os polinômios de grau 1. Tomando
Q_1(t)=A t + B,\qquad R_1(t)=C t + D,
onde A,B,C,D são constantes a determinar, o formato adequado do palpite é
y_p(t)=t\,e^{-t}\Big((A t + B)\cos\!\big(\sqrt{\gamma-1}\,t\big) + (C t + D)\sin\!\big(\sqrt{\gamma-1}\,t\big)\Big).
Explicação intuitiva final: incluímos ambos os termos \cos e \sin porque as raízes complexas vêm em conjugado; usamos polinômios de grau 1 porque a forçante tem um polinômio de grau 1; e multiplicamos por t porque a exponencial-oscillação coincide com a solução da homogênea (ressonância de multiplicidade 1).

Passo 6

Comentário prático sobre quantos coeficientes e próximos passos na prova (orientação): o palpite acima tem quatro constantes A,B,C,D. Para obter os valores concretos dessas constantes, substitui-se y_p e suas derivadas em
y''+2y'+\gamma y = t e^{-t}\sin\!\big(\sqrt{\gamma-1}\,t\big)
e iguala-se os coeficientes das combinações lineares independentes de t^2 e^{-t}\cos, t^2 e^{-t}\sin, t e^{-t}\cos, t e^{-t}\sin, etc.; isso gera um sistema linear para A,B,C,D. Esse cálculo é mecânico mas algébrico e um pouco longo; a parte crítica para a prova é saber formular corretamente o ansatz, que é o que pedem aqui.

Resposta

y_p(t)=t\,e^{-t}\Big((A t + B)\cos\!\big(\sqrt{\gamma-1}\,t\big) + (C t + D)\sin\!\big(\sqrt{\gamma-1}\,t\big)\Big),
onde A,B,C,D são constantes a determinar.

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