Exercício 3 - Encontre uma forma adequada para uma solução particular da equação
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
e pede que se encontre “uma forma adequada para uma solução particular”.\n
Informações úteis extraídas do enunciado:
Informações úteis extraídas do enunciado:
- O termo do lado direito é um produto de três fatores: um polinômio em
(que é , grau ), uma exponencial e uma função trigonométrica . - O parâmetro
satisfaz , então é real e positivo. - O objetivo é propor um formato (ansatz) apropriado para uma solução particular
que permita determinar as constantes por coeficientes a determinar.
Passo 2
Por etapa didática: lembrar a regra prática do método dos coeficientes indeterminados (explicação passo a passo, sem pular):
- Quando a forçante tem a forma
ou , onde é um polinômio de grau , o ansatz padrão é
onde
e
são polinômios de grau
com coeficientes indeterminados.\n
- Se
(ou sua conjugada) é raiz do polinômio característico da equação homogênea com multiplicidade , então é necessário multiplicar o ansatz por (essa é a correção de ressonância).
Vou explicar o que significam as peças dessa regra:
-
é o polinômio que aparece na forçante; seu grau determina o grau dos polinômios e que usamos no palpite. -
e aparecem porque exponencial vezes seno/cosseno correspondem a raízes complexas da equação característica. - A multiplicação por
evita que o ansatz seja solução da homogênea (caso contrário teríamos ressonância e não conseguiríamos determinar coeficientes).
Passo 3
Aplicar isso ao nosso caso: identifiquemos os parâmetros da forçante.
- O fator exponencial é
, então . - A oscilação é
, então . - O polinômio multiplicador é
, logo tem grau .
Agora precisamos saber se
é raiz do polinômio característico da parte homogênea. A equação homogênea é
com polinômio característico
As raízes desse polinômio são
já que
. Portanto
são exatamente as raízes complexas simples da homogênea.
Passo 4
Conclusão sobre ressonância: como
é raiz da equação característica, e essa raiz é simples (multiplicidade
), a regra manda multiplicar o ansatz padrão por
.
Sem a correção de ressonância o ansatz seria
com
e
polinômios de grau
. Pela ressonância (multiplicidade
) deve-se multiplicar por
, obtendo
Passo 5
Escrever explicitamente os polinômios de grau
. Tomando
onde
são constantes a determinar, o formato adequado do palpite é
Explicação intuitiva final: incluímos ambos os termos
e
porque as raízes complexas vêm em conjugado; usamos polinômios de grau
porque a forçante tem um polinômio de grau
; e multiplicamos por
porque a exponencial-oscillação coincide com a solução da homogênea (ressonância de multiplicidade
).
Passo 6
Comentário prático sobre quantos coeficientes e próximos passos na prova (orientação): o palpite acima tem quatro constantes
. Para obter os valores concretos dessas constantes, substitui-se
e suas derivadas em
e iguala-se os coeficientes das combinações lineares independentes de
,
,
,
, etc.; isso gera um sistema linear para
. Esse cálculo é mecânico mas algébrico e um pouco longo; a parte crítica para a prova é saber formular corretamente o ansatz, que é o que pedem aqui.
Resposta
onde
são constantes a determinar.