Represente graficamente e encontre a solução ótima dos problemas de programação linear abaixo:
\boldsymbol{M} \mathbf{i n} \mathbf{Z} \boldsymbol{=} \mathbf{2} \mathbf{x}_{ \mathbf{1}} \boldsymbol{+} \mathbf{6} \mathbf{x}_{ \mathbf{2}}
\left\{\begin{aligned} x 1+x 2 & \geq 5 \\\\ 5 x 1+x 2 & \geq 10 \\\ x 1 & \leq 8 \\\ x 1 & \geq 0 \\\ x 2 & \geq 0\end{aligned}\right.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Função objetivo (minimizar):
Z_{\min}=2x_{1}+6x_{2}.
  • Restrições:
\begin{cases} x_{1}+x_{2}\ge 5,\\[4pt] 5x_{1}+x_{2}\ge 10,\\[4pt] x_{1}\le 8,\\[4pt] x_{1}\ge 0,\\[4pt] x_{2}\ge 0. \end{cases}
  • O enunciado pede:
    1. Representar graficamente a região factível (ou seja, desenhar as retas correspondentes às igualdades e identificar a região que satisfaz todas as desigualdades).
    2. Encontrar a solução ótima (os valores de x_{1} e x_{2} que minimizam Z sobre a região factível) e o valor mínimo de Z.]

Passo 2

Explicando a ideia do método gráfico (didático, passo a passo):
  • Para representar graficamente cada desigualdade, traça-se a reta obtida trocando o sinal "\ge" por =. Por exemplo, de x_{1}+x_{2}\ge5 traça-se a reta x_{1}+x_{2}=5.
  • Cada desigualdade define um semiplano. Para saber qual semiplano é factível, testa-se um ponto fácil (por exemplo (0,0)) ou raciocina-se pelo tipo de desigualdade.
  • A região factível é a interseção de todos esses semiplanos e dos quadrantes x_{1}\ge0,\;x_{2}\ge0.
  • Teorema prático (por que só checar vértices): para programação linear com função objetivo linear, um ótimo (se existir e se for finito) ocorre em um vértice (ponto extremo) da região factível. Então basta:
    1. Encontrar os vértices candidatos (interseções das retas que formam o contorno da região factível).
    2. Avaliar Z nesses vértices.
    3. O menor valor obtido é o mínimo global.

Passo 3

Traçando as retas e anotando interceptos (isso ajuda a desenhar no papel):
  • Reta L_{1} de x_{1}+x_{2}=5.
    • Intercepto em x_{1}=0: x_{2}=5 → ponto (0,5).
    • Intercepto em x_{2}=0: x_{1}=5 → ponto (5,0).
  • Reta L_{2} de 5x_{1}+x_{2}=10.
    • Intercepto em x_{1}=0: x_{2}=10 → ponto (0,10).
    • Intercepto em x_{2}=0: x_{1}=2 → ponto (2,0).
  • Reta vertical x_{1}=8 (vertical passando por x_{1}=8).
Esses pontos permitem desenhar cada reta no plano (x_{1},x_{2}).

Passo 4

Determinar qual lado de cada reta é factível (como escolher o semiplano correto):
  • Teste rápido com o ponto (0,0):
    • Em x_{1}+x_{2}\ge5: 0+0\ge5 é falso, logo (0,0) NÃO está do lado factível dessa desigualdade. Assim o semiplano factível para L_{1} é o que está acima/à esquerda da reta (onde x_{2} é maior).
    • Em 5x_{1}+x_{2}\ge10: 0+0\ge10 é falso, logo o semiplano factível para L_{2} também é o que está acima da reta 5x_{1}+x_{2}=10.
  • Para x_{1}\le8, o semiplano factível é o lado à esquerda da reta vertical x_{1}=8.
  • E devemos ainda ficar no primeiro quadrante: x_{1}\ge0,\;x_{2}\ge0.
Portanto a região factível é a interseção das regiões “acima” de L_{1} e L_{2}, à esquerda de x_{1}=8, e com x_{1},x_{2}\ge0.

Passo 5

Encontrar as interseções das retas (resolver sistemas) para obter os vértices candidatos.
  1. Interseção L_{1}\) com \(L_{2}\): \[\begin{cases} x_{1}+x_{2}=5,\\[4pt] 5x_{1}+x_{2}=10. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(5x_{1}+x_{2})-(x_{1}+x_{2})=10-5 \quad\Rightarrow\quad 4x_{1}=5.
Logo
x_{1}=\frac{5}{4}.
Substituindo em x_{1}+x_{2}=5\]: \[\frac{5}{4}+x_{2}=5\quad\Rightarrow\quad x_{2}=5-\frac{5}{4}=\frac{20-5}{4}=\frac{15}{4}.\] Ponto de interseção: \(\left(\dfrac{5}{4},\,\dfrac{15}{4}\right).
  1. Interseção de L_{1} com x_{2}=0 (para localizar extremo em eixo):
    De x_{1}+x_{2}=5 com x_{2}=0 vem x_{1}=5. Ponto: (5,0).
  2. Interseção de L_{2} com x_{1}=0:
    De 5x_{1}+x_{2}=10 com x_{1}=0 vem x_{2}=10. Ponto: (0,10).
  3. Interseção de x_{1}=8 com x_{2}=0:
    Ponto: (8,0). Note que x_{1}=8 intersecta o eixo x_{2}=0 nesse ponto e ambos os outros cortes em x_{2} são negativos (logo não relevantes). Verificações:
  • (5,0) verifica 5x_{1}+x_{2}=25\ge10 e x_{1}+x_{2}=5\ge5 → é factível.
  • (0,10) verifica ambas → é factível.
  • \left(\dfrac{5}{4},\dfrac{15}{4}\right) está sobre ambas as retas, logo factível.
  • (8,0) verifica x_{1}\le8 (igual), e checa as outras desigualdades: 8+0=8\ge5,\quad 5\cdot8+0=40\ge10,então (8,0) é factível.
Observação: o ponto (2,0) é interseção de L_{2} com x_{2}=0, mas checando L_{1}: 2+0\ge5 é falso, então (2,0) NÃO é factível e não é vértice da região factível.]

Passo 6

Descrever a forma da região factível (para orientar o desenho):
  • A região factível é formada pelos pontos do primeiro quadrante que estão acima de ambas as retas L_{1} e L_{2} e à esquerda de x_{1}=8.
  • No contorno visível aparecem os vértices (em ordem, seguindo a borda inferior da região factível da esquerda para a direita): (0,10)\\ \longrightarrow\\ \left(\frac{5}{4},\frac{15}{4}\right)\\ \longrightarrow\\ (5,0)\\ \longrightarrow\\ (8,0),e a partir de (8,0) a região continua para cima ao longo de x_{1}=8 (a região é, portanto, ilimitada para cima), já que não há um teto em x_{2}.
Mesmo sendo a região ilimitada para x_{2} grande, como vamos minimizar Z com coeficiente positivo em x_{2} ( 6>0), valores grandes de x_{2} só aumentam Z. Assim o mínimo, se existir, estará em algum dos vértices finitos listados acima.

Passo 7

Avaliar a função objetivo Z=2x_{1}+6x_{2} em cada vértice candidato (contando apenas vértices factíveis):
  1. Em (0,10):
Z=2\cdot 0 + 6\cdot 10 = 60.
  1. Em \left(\dfrac{5}{4},\dfrac{15}{4}\right):
Z=2\cdot\frac{5}{4}+6\cdot\frac{15}{4} = \frac{10}{4} + \frac{90}{4} = \frac{100}{4} =25.
  1. Em (5,0):
Z=2\cdot 5 + 6\cdot 0 = 10.
  1. Em (8,0):
Z=2\cdot 8 + 6\cdot 0 = 16.

Passo 8

Comparando os valores calculados:
  • Z(0,10)=60,
  • Z\!\left(\dfrac{5}{4},\dfrac{15}{4}\right)=25,
  • Z(5,0)=10,
  • Z(8,0)=16.
O menor desses valores é 10, obtido em x_{1}=5,\;x_{2}=0. Portanto a solução ótima existe, é finita e ocorre no vértice (5,0).

Resposta

x_{1}=5,\;x_{2}=0,\;Z_{\min}=10

Exercícios relacionados