Representar graficamente a região factível (ou seja, desenhar as retas correspondentes às igualdades e identificar a região que satisfaz todas as desigualdades).
Encontrar a solução ótima (os valores de x_{1} e x_{2} que minimizam Z sobre a região factível) e o valor mínimo de Z.]
Passo 2
Explicando a ideia do método gráfico (didático, passo a passo):
Para representar graficamente cada desigualdade, traça-se a reta obtida trocando o sinal "\ge" por =. Por exemplo, de x_{1}+x_{2}\ge5 traça-se a reta x_{1}+x_{2}=5.
Cada desigualdade define um semiplano. Para saber qual semiplano é factível, testa-se um ponto fácil (por exemplo (0,0)) ou raciocina-se pelo tipo de desigualdade.
A região factível é a interseção de todos esses semiplanos e dos quadrantes x_{1}\ge0,\;x_{2}\ge0.
Teorema prático (por que só checar vértices): para programação linear com função objetivo linear, um ótimo (se existir e se for finito) ocorre em um vértice (ponto extremo) da região factível. Então basta:
Encontrar os vértices candidatos (interseções das retas que formam o contorno da região factível).
Avaliar Z nesses vértices.
O menor valor obtido é o mínimo global.
Passo 3
Traçando as retas e anotando interceptos (isso ajuda a desenhar no papel):
Reta L_{1} de x_{1}+x_{2}=5.
Intercepto em x_{1}=0: x_{2}=5 → ponto (0,5).
Intercepto em x_{2}=0: x_{1}=5 → ponto (5,0).
Reta L_{2} de 5x_{1}+x_{2}=10.
Intercepto em x_{1}=0: x_{2}=10 → ponto (0,10).
Intercepto em x_{2}=0: x_{1}=2 → ponto (2,0).
Reta vertical x_{1}=8 (vertical passando por x_{1}=8).
Esses pontos permitem desenhar cada reta no plano (x_{1},x_{2}).
Passo 4
Determinar qual lado de cada reta é factível (como escolher o semiplano correto):
Teste rápido com o ponto (0,0):
Em x_{1}+x_{2}\ge5: 0+0\ge5 é falso, logo (0,0) NÃO está do lado factível dessa desigualdade. Assim o semiplano factível para L_{1} é o que está acima/à esquerda da reta (onde x_{2} é maior).
Em 5x_{1}+x_{2}\ge10: 0+0\ge10 é falso, logo o semiplano factível para L_{2} também é o que está acima da reta 5x_{1}+x_{2}=10.
Para x_{1}\le8, o semiplano factível é o lado à esquerda da reta vertical x_{1}=8.
E devemos ainda ficar no primeiro quadrante: x_{1}\ge0,\;x_{2}\ge0.
Portanto a região factível é a interseção das regiões “acima” de L_{1} e L_{2}, à esquerda de x_{1}=8, e com x_{1},x_{2}\ge0.
Passo 5
Encontrar as interseções das retas (resolver sistemas) para obter os vértices candidatos.
Interseção L_{1}\) com \(L_{2}\):
\[\begin{cases} x_{1}+x_{2}=5,\\[4pt] 5x_{1}+x_{2}=10. \end{cases}
Substituindo em x_{1}+x_{2}=5\]:
\[\frac{5}{4}+x_{2}=5\quad\Rightarrow\quad x_{2}=5-\frac{5}{4}=\frac{20-5}{4}=\frac{15}{4}.\]
Ponto de interseção: \(\left(\dfrac{5}{4},\,\dfrac{15}{4}\right).
Interseção de L_{1} com x_{2}=0 (para localizar extremo em eixo):
De x_{1}+x_{2}=5 com x_{2}=0 vem x_{1}=5. Ponto: (5,0).
Interseção de L_{2} com x_{1}=0:
De 5x_{1}+x_{2}=10 com x_{1}=0 vem x_{2}=10. Ponto: (0,10).
Interseção de x_{1}=8 com x_{2}=0:
Ponto: (8,0). Note que x_{1}=8 intersecta o eixo x_{2}=0 nesse ponto e ambos os outros cortes em x_{2} são negativos (logo não relevantes). Verificações:
(5,0) verifica 5x_{1}+x_{2}=25\ge10 e x_{1}+x_{2}=5\ge5 → é factível.
(0,10) verifica ambas → é factível.
\left(\dfrac{5}{4},\dfrac{15}{4}\right) está sobre ambas as retas, logo factível.
(8,0) verifica x_{1}\le8 (igual), e checa as outras desigualdades:8+0=8\ge5,\quad 5\cdot8+0=40\ge10,então (8,0) é factível.
Observação: o ponto (2,0) é interseção de L_{2} com x_{2}=0, mas checando L_{1}: 2+0\ge5 é falso, então (2,0) NÃO é factível e não é vértice da região factível.]
Passo 6
Descrever a forma da região factível (para orientar o desenho):
A região factível é formada pelos pontos do primeiro quadrante que estão acima de ambas as retas L_{1} e L_{2} e à esquerda de x_{1}=8.
No contorno visível aparecem os vértices (em ordem, seguindo a borda inferior da região factível da esquerda para a direita):(0,10)\\ \longrightarrow\\ \left(\frac{5}{4},\frac{15}{4}\right)\\ \longrightarrow\\ (5,0)\\ \longrightarrow\\ (8,0),e a partir de (8,0) a região continua para cima ao longo de x_{1}=8 (a região é, portanto, ilimitada para cima), já que não há um teto em x_{2}.
Mesmo sendo a região ilimitada para x_{2} grande, como vamos minimizar Z com coeficiente positivo em x_{2} (6>0), valores grandes de x_{2} só aumentam Z. Assim o mínimo, se existir, estará em algum dos vértices finitos listados acima.
Passo 7
Avaliar a função objetivo Z=2x_{1}+6x_{2} em cada vértice candidato (contando apenas vértices factíveis):