Represente graficamente e encontre a solução ótima dos problemas de programação linear abaixo:
Max Z=4 \mathbf{x}_{\mathbf{1}}+\mathbf{3} \mathbf{x}_{\mathbf{2}}
\left\{\begin{aligned} x_{1}+3 x_{2} & \leq 12 \\\\ 2 x_{1}+x_{2} & \geq 16 \\\ x_{1} & \geq 0 \\\ x_{2} & \geq 0 \end{aligned}\right.

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e o que foi dado.
  • O enunciado pede: representar graficamente o sistema e encontrar a solução ótima (maximizar Z\)). - A função objetivo é \(Z=4\,x_{1}+3\,x_{2}\). - As restrições são: \[\begin{cases} x_{1}+3x_{2}\leq 12,\\[4pt] 2x_{1}+x_{2}\geq 16,\\[4pt] x_{1}\geq 0,\\[4pt] x_{2}\geq 0. \end{cases}
  • Resumo das informações úteis: duas retas que definem fronteiras ( x_{1}+3x_{2}=12\] e \(2x_{1}+x_{2}=16) e as não negatividades.]

Passo 2

Qual método vou usar (e por quê).
  • Para problemas de programação linear em duas variáveis, o método gráfico + teste nos vértices (teorema dos vértices/extremos) é o caminho natural: o máximo de uma função linear sobre uma região poligonal fechada atinge-se em um vértice da região factível.
  • Então vou: (a) desenhar as retas correspondentes às igualdades das restrições, (b) identificar o semiplano válido de cada desigualdade, (c) achar os vértices da região factível e (d) calcular Z nesses vértices para encontrar o máximo.

Passo 3

Traçar as retas — interceptos e desenho.
  • Para a reta x_{1}+3x_{2}=12: calcular interceptos com os eixos.
    • Com x_{2}=0: x_{1}=12. Ponto (12,0).
    • Com x_{1}=0: 3x_{2}=12\Rightarrow x_{2}=4. Ponto (0,4).
  • Para a reta 2x_{1}+x_{2}=16: interceptos com os eixos.
    • Com x_{2}=0: 2x_{1}=16\Rightarrow x_{1}=8. Ponto (8,0).
    • Com x_{1}=0: x_{2}=16. Ponto (0,16).
  • No papel (ou em um sistema), desenhar as duas retas ligando os pontos acima; marque também os eixos x_{1} e x_{2} (restrições x_{1}\ge0, x_{2}\ge0).

Passo 4

Determinar os semiplanos (que lado de cada reta é válido) e a região factível.
  • Teste simples: o ponto (0,0).
    • Para x_{1}+3x_{2}\leq 12: em (0,0) tem 0\le12 — verdade. Então o semiplano válido para essa desigualdade é o que contém a origem (o lado “abaixo/à esquerda” da reta).
    • Para 2x_{1}+x_{2}\geq16: em (0,0) tem 0\ge16 — falso. Portanto o semiplano válido é o lado oposto ao que contém a origem (o lado “acima/à direita” da reta).
  • Conclusão: a região factível é a interseção \{(x_{1},x_{2})\mid x_{1}+3x_{2}\le12\}\cap\{(x_{1},x_{2})\mid 2x_{1}+x_{2}\ge16\}\cap\{x_{1}\ge0,x_{2}\ge0\}.
  • Visualmente (e por análise), essa interseção forma um polígono limitado: um triângulo cujos vértices serão as interseções relevantes entre as retas e os eixos.

Passo 5

Determinar os vértices candidatos (interseções entre pares de fronteiras).
As fronteiras possíveis são: a reta [x_{1}+3x_{2}=12), a reta 2x_{1}+x_{2}=16, o eixo x_{1}=0, e o eixo x_{2}=0. Vou calcular as interseções relevantes e verificar se cada ponto pertence à região factível.
  1. Interseção entre x_{2}=0 e x_{1}+3x_{2}=12:
    x_{2}=0\Rightarrow x_{1}=12.
    Ponto (12,0). Verificação rápida: em 2x_{1}+x_{2}\ge16 temos 2\cdot12+0=24\ge16 — portanto (12,0) é factível.
  2. Interseção entre x_{2}=0 e 2x_{1}+x_{2}=16:
    x_{2}=0\Rightarrow 2x_{1}=16\Rightarrow x_{1}=8.
    Ponto (8,0). Verificação: em x_{1}+3x_{2}\le12 temos 8+0\le12 — portanto (8,0) é factível.
  3. Interseção entre as duas retas x_{1}+3x_{2}=12 e 2x_{1}+x_{2}=16: resolver o sistema
    \begin{cases} x_{1}+3x_{2}=12,\\[4pt] 2x_{1}+x_{2}=16. \end{cases}
    Resolvo por eliminação: multiplica a segunda por (3]
    6x_{1}+3x_{2}=48.
    Subtrai a primeira:
    (6x_{1}+3x_{2})-(x_{1}+3x_{2})=48-12
5x_{1}=36\Rightarrow x_{1}=\frac{36}{5}.
Substituindo em 2x_{1}+x_{2}=16:
2\cdot\frac{36}{5}+x_{2}=16\Rightarrow \frac{72}{5}+x_{2}=16
x_{2}=16-\frac{72}{5}=\frac{80-72}{5}=\frac{8}{5}.
Ponto \left(\dfrac{36}{5},\dfrac{8}{5}\right). Como ambas as igualdades se satisfazem e x_{1},x_{2}\ge0, esse ponto é uma vértice da região factível.
  • Não há interseções factíveis envolvendo x_{1}=0 porque em x_{1}=0 a segunda restrição exige x_{2}\ge16 que contradiz x_{1}+3x_{2}\le12 (pois então x_{2}\le4); logo nenhum ponto com x_{1}=0 fica na região factível.
  • Resultado: os vértices da região factível são exatamente
    \left(12,0\right),\quad \left(8,0\right),\quad \left(\dfrac{36}{5},\dfrac{8}{5}\right).]

Passo 6

Calcular Z=4x_{1}+3x_{2} em cada vértice e comparar.
  • Em \left(12,0\right): Z=4\cdot12+3\cdot0=48.
  • Em \left(8,0\right): Z=4\cdot8+3\cdot0=32.
  • Em \left(\dfrac{36}{5},\dfrac{8}{5}\right): Z=4\cdot\frac{36}{5}+3\cdot\frac{8}{5}=\frac{144}{5}+\frac{24}{5}=\frac{168}{5}=33{,}6.
Comparando os valores: 48,\\\ 32,\\\ 33{,}6. O maior é 48 no ponto \left(12,0\right).

Passo 7

Conclusão — interpretação e checagem final.
  • A solução ótima (máximo) é obtida no vértice \left(12,0\right).
  • Valor ótimo: Z_{\max}=48.
  • Observação intuitiva: a função objetivo favorece x_{1} (coeficiente 4) e, dentro da região factível, empurrar toda a massa para x_{1} até o ponto (12,0) é viável e dá o maior Z.

Resposta

x_{1}=12,\;x_{2}=0,\;Z_{\max}=48

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