Construir o modelo matemático de programação linear dos sistemas descritos a seguir:
Certa empresa fabrica 2 produtos P1 e P2. O lucro por unidade de P1 é de 200 u.m. e o lucro unitário de P2 é de 250 u.m. A empresa necessita de 2 horas para fabricar uma unidade de P1 e 3 horas para fabricar uma unidade de P 2 . O tempo mensal disponível para essas atividades é de 120 horas. As demandas esperadas para os 2 produtos levaram a empresa a decidir que os montantes produzidos de P1 e P2 não devem ultrapassar 40 unidades de P1 e 30 unidades de P2 por mês. Construa o modelo do sistema de produção mensal com o objetivo de maximizar o lucro da empresa.

Passo 1

O enunciado pede que se construa um modelo matemático de programação linear para a produção mensal de dois produtos, com o objetivo de maximizar o lucro da empresa. Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
  • Lucro por unidade de P1: 200 unidades monetárias.
  • Lucro por unidade de P2: 250 unidades monetárias.
  • Tempo de fabricação por unidade de P1: 2 horas.
  • Tempo de fabricação por unidade de P2: 3 horas.
  • Tempo mensal disponível para produção: 120 horas.
  • Limite máximo de produção por mês de P1: 40 unidades.
  • Limite máximo de produção por mês de P2: 30 unidades.
Pergunta explícita do enunciado:
  • Construir o modelo do sistema de produção mensal com o objetivo de maximizar o lucro da empresa.

Passo 2

Definir as variáveis de decisão (muito importante: dizer claramente o que cada variável representa).
  • Seja x_1 o número de unidades produzidas do produto P1 no mês.
  • Seja x_2 o número de unidades produzidas do produto P2 no mês.
Explicação da escolha: escolhemos uma variável por produto porque queremos decidir quantas unidades produzir de cada um para maximizar o lucro.

Passo 3

Construir a função objetivo (a função que queremos maximizar). A ideia: lucro total = lucro por unidade de P1 vezes quantidade de P1 mais lucro por unidade de P2 vezes quantidade de P2.
  • Lucro por P1 é 200, então contribuição de P1 é 200 x_1.
  • Lucro por P2 é 250, então contribuição de P2 é 250 x_2.
Portanto a função objetivo (que vamos maximizar) é:
Maximizar Z = 200 x_1 + 250 x_2.
Breve aula: em programação linear a função objetivo é sempre uma combinação linear das variáveis de decisão, com coeficientes que indicam “quanto vale” cada variável (aqui, lucro por unidade).

Passo 4

Escrever a restrição de tempo de produção. Cada unidade de P1 consome 2 horas; cada unidade de P2 consome 3 horas; o total de horas disponível é 120. Então somando os tempos usados:
2 x_1 + 3 x_2 \le 120.
Explicação didática: o lado esquerdo é o tempo total necessário para produzir x_1 e x_2; ele não pode exceder as 120 horas disponíveis (por isso o símbolo \le).

Passo 5

Escrever as restrições de demanda / limites máximos de produção (fornecidas no enunciado):
  • A produção de P1 não pode ultrapassar 40 unidades:
    x_1 \le 40.
  • A produção de P2 não pode ultrapassar 30 unidades:
    x_2 \le 30.
Explicação didática: essas são restrições superiores simples—limitam cada variável individualmente conforme a demanda esperada.

Passo 6

Impor a não-negatividade (essencial em modelos de produção):
x_1 \ge 0,\quad x_2 \ge 0.
Explicação didática: não faz sentido produzir quantidades negativas. Em programação linear isso é quase sempre obrigatório.

Passo 7

Comentários sobre integridade das variáveis (para prova): o enunciado não exige explicitamente que x_1 e x_2 sejam inteiros. Normalmente, quando se fala em “unidades” de produtos, valores inteiros fazem sentido na prática; porém, muitos modelos de prova aceitam solução contínua (decimais) e, se necessário, a versão inteira é formulada adicionando x_1, x_2 inteiros não-negativos. Se na prova pedirem solução exata em inteiros, então trata-se de um problema de programação inteira; caso contrário, o modelo linear contínuo acima é suficiente.

Passo 8

Resumo prático de como usar esse modelo na prova (rápido e útil):
  • Como há duas variáveis, um método gráfico funciona bem: desenha-se o espaço (x_1,x_2), traçam-se as retas correspondentes às restrições, encontra-se a região factível (interseção das meia-planos) e testa-se a função objetivo nos vértices dessa região (teorema fundamental: o máximo da função linear em uma região poligonal ocorre num vértice).
  • Se preferir cálculo, listar os vértices da região factível (interseções de pares de restrições) e avaliar Z em cada vértice; o maior valor é a solução ótima (desde que x_1,x_2 possam ser reais).

Resposta

Maximizar Z = 200 x_1 + 250 x_2
Sujeito a
2 x_1 + 3 x_2 \le 120
x_1 \le 40
x_2 \le 30
x_1 \ge 0,\quad x_2 \ge 0

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