Construir o modelo matemático de programação linear dos sistemas descritos a seguir:
Certa empresa fabrica 2 produtos P1 e P2. O lucro por unidade de P1 é de 200 u.m. e o lucro unitário de P2 é de 250 u.m. A empresa necessita de 2 horas para fabricar uma unidade de P1 e 3 horas para fabricar uma unidade de P 2 . O tempo mensal disponível para essas atividades é de 120 horas. As demandas esperadas para os 2 produtos levaram a empresa a decidir que os montantes produzidos de P1 e P2 não devem ultrapassar 40 unidades de P1 e 30 unidades de P2 por mês. Construa o modelo do sistema de produção mensal com o objetivo de maximizar o lucro da empresa.
Certa empresa fabrica 2 produtos P1 e P2. O lucro por unidade de P1 é de 200 u.m. e o lucro unitário de P2 é de 250 u.m. A empresa necessita de 2 horas para fabricar uma unidade de P1 e 3 horas para fabricar uma unidade de P 2 . O tempo mensal disponível para essas atividades é de 120 horas. As demandas esperadas para os 2 produtos levaram a empresa a decidir que os montantes produzidos de P1 e P2 não devem ultrapassar 40 unidades de P1 e 30 unidades de P2 por mês. Construa o modelo do sistema de produção mensal com o objetivo de maximizar o lucro da empresa.
Passo 1
O enunciado pede que se construa um modelo matemático de programação linear para a produção mensal de dois produtos, com o objetivo de maximizar o lucro da empresa. Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
- Lucro por unidade de
: unidades monetárias. - Lucro por unidade de
: unidades monetárias. - Tempo de fabricação por unidade de
: horas. - Tempo de fabricação por unidade de
: horas. - Tempo mensal disponível para produção:
horas. - Limite máximo de produção por mês de
: unidades. - Limite máximo de produção por mês de
: unidades.
Pergunta explícita do enunciado:
- Construir o modelo do sistema de produção mensal com o objetivo de maximizar o lucro da empresa.
Passo 2
Definir as variáveis de decisão (muito importante: dizer claramente o que cada variável representa).
- Seja
o número de unidades produzidas do produto no mês. - Seja
o número de unidades produzidas do produto no mês.
Explicação da escolha: escolhemos uma variável por produto porque queremos decidir quantas unidades produzir de cada um para maximizar o lucro.
Passo 3
Construir a função objetivo (a função que queremos maximizar). A ideia: lucro total = lucro por unidade de
vezes quantidade de
mais lucro por unidade de
vezes quantidade de
.
- Lucro por
é , então contribuição de é . - Lucro por
é , então contribuição de é .
Portanto a função objetivo (que vamos maximizar) é:
Maximizar .
Maximizar
Breve aula: em programação linear a função objetivo é sempre uma combinação linear das variáveis de decisão, com coeficientes que indicam “quanto vale” cada variável (aqui, lucro por unidade).
Passo 4
Escrever a restrição de tempo de produção. Cada unidade de
consome
horas; cada unidade de
consome
horas; o total de horas disponível é
. Então somando os tempos usados:
Explicação didática: o lado esquerdo é o tempo total necessário para produzir
e
; ele não pode exceder as
horas disponíveis (por isso o símbolo
).
Passo 5
Escrever as restrições de demanda / limites máximos de produção (fornecidas no enunciado):
- A produção de
não pode ultrapassar unidades:
. - A produção de
não pode ultrapassar unidades:
.
Explicação didática: essas são restrições superiores simples—limitam cada variável individualmente conforme a demanda esperada.
Passo 6
Impor a não-negatividade (essencial em modelos de produção):
.
Explicação didática: não faz sentido produzir quantidades negativas. Em programação linear isso é quase sempre obrigatório.
Passo 7
Comentários sobre integridade das variáveis (para prova): o enunciado não exige explicitamente que
e
sejam inteiros. Normalmente, quando se fala em “unidades” de produtos, valores inteiros fazem sentido na prática; porém, muitos modelos de prova aceitam solução contínua (decimais) e, se necessário, a versão inteira é formulada adicionando
inteiros não-negativos. Se na prova pedirem solução exata em inteiros, então trata-se de um problema de programação inteira; caso contrário, o modelo linear contínuo acima é suficiente.
Passo 8
Resumo prático de como usar esse modelo na prova (rápido e útil):
- Como há duas variáveis, um método gráfico funciona bem: desenha-se o espaço
, traçam-se as retas correspondentes às restrições, encontra-se a região factível (interseção das meia-planos) e testa-se a função objetivo nos vértices dessa região (teorema fundamental: o máximo da função linear em uma região poligonal ocorre num vértice). - Se preferir cálculo, listar os vértices da região factível (interseções de pares de restrições) e avaliar
em cada vértice; o maior valor é a solução ótima (desde que possam ser reais).
Resposta
Maximizar
Sujeito a