Represente graficamente o gráfico da superfície
, definida por
. Trace as curvas de nível
, com
,
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar o gráfico da função
e, além disso, traçar as curvas de nível para
,
e
. A matéria aqui envolve gráficos de superfícies no espaço tridimensional e curvas de nível no plano. Para resolver isso, vamos precisar entender como essa função se comporta e como as curvas de nível se relacionam com ela.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Essa é uma função quadrática em duas variáveis,
e
, e ela representa uma superfície chamada paraboloide. Se você imaginar, é como uma tigela que se abre para baixo, porque os termos
e
fazem com que os valores de
diminuam conforme você se afasta do ponto central.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre as curvas de nível. Curvas de nível são conjuntos de pontos no plano
onde a função
assume um valor constante
. Basicamente, é como se você estivesse cortando a superfície em fatias horizontais e olhando para a interseção no plano. Para cada valor de
, vamos obter uma curva diferente.
Passo 4
Vamos traçar as curvas de nível para os valores dados:
-
Para
: Essa é a equação de um círculo com raioe centro na origem . -
Para
: Aqui, temos um círculo com raioe também centrado na origem. -
Para
: Esse é um círculo com raio, novamente com centro na origem.
Resposta
O gráfico da superfície
é um paraboloide que se abre para baixo. As curvas de nível para
,
e
são círculos concêntricos no plano
com raios 10, 7 e 5, respectivamente, todos centrados na origem.