Represente graficamente o gráfico da superfície f: R^2 -> R, definida por f(x, y) = 100 - x^2 - y^2. Trace as curvas de nível f(x, y) = k, com k = 0, k = 51 e k = 75.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar o gráfico da função e, além disso, traçar as curvas de nível para , e . A matéria aqui envolve gráficos de superfícies no espaço tridimensional e curvas de nível no plano. Para resolver isso, vamos precisar entender como essa função se comporta e como as curvas de nível se relacionam com ela.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Essa é uma função quadrática em duas variáveis, e , e ela representa uma superfície chamada paraboloide. Se você imaginar, é como uma tigela que se abre para baixo, porque os termos e fazem com que os valores de diminuam conforme você se afasta do ponto central.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre as curvas de nível. Curvas de nível são conjuntos de pontos no plano onde a função assume um valor constante . Basicamente, é como se você estivesse cortando a superfície em fatias horizontais e olhando para a interseção no plano. Para cada valor de , vamos obter uma curva diferente.

Passo 4

Vamos traçar as curvas de nível para os valores dados:
  1. Para :
    Essa é a equação de um círculo com raio e centro na origem .
  2. Para :
    Aqui, temos um círculo com raio e também centrado na origem.
  3. Para :
    Esse é um círculo com raio , novamente com centro na origem.

Resposta

O gráfico da superfície é um paraboloide que se abre para baixo. As curvas de nível para , e são círculos concêntricos no plano com raios 10, 7 e 5, respectivamente, todos centrados na origem.

Exercícios relacionados