Teoria e exemplos
39. Assuma que w=f(s^3+r^2) e f^prime(x)=e^x. Encontre partial wpartial t e partial wpartial s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e a derivada de , que é . A missão aqui é encontrar as derivadas parciais de em relação a e a , ou seja, e . Para isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma derivada parcial. Diferente da derivada comum, que considera a variação de uma função em relação a uma única variável mantendo as demais constantes, a derivada parcial foca em uma variável específica, tratando as outras como constantes.

Passo 3

Vamos começar calculando . Observando a função , percebemos que não depende diretamente de . Ou seja, não há na expressão de , o que significa que a derivada parcial em relação a será zero.

Passo 4

Agora, vamos calcular partial wpartial s = f^prime(u) cdot partial upartial s . Para isso, usamos a regra da cadeia. A função é composta por , onde . A regra da cadeia nos diz que:

Passo 5

Sabendo que e , vamos calcular cada parte:
  1. (pois é tratado como constante na derivada parcial em relação a )

Passo 6

Agora, juntando os resultados:
partial wpartial s = e^s^3 + r^2 cdot 3s^2 = 3s^2 e^s^3 + r^2

Resposta

partial wpartial t = 0 e partial wpartial s = 3s^2 e^s^3 + r^2

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