Represente graficamente os seguintes campos vetoriais:
r(x, y)=(-y, x).

Passo 1

Beleza! O enunciado pede para a gente representar graficamente o campo vetorial r(x, y) = (-y, x). Estamos lidando com Campos Vetoriais, que são funções que atribuem um vetor a cada ponto do espaço. Para resolver isso, vamos precisar saber como desenhar vetores em diferentes pontos do plano cartesiano e entender como esses vetores se comportam em relação às suas posições.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a expressão r(x, y) = (-y, x). Aqui, para cada ponto (x, y) no plano, o vetor é formado pelos componentes -y e x. Isso significa que a direção e o tamanho do vetor dependem das coordenadas x e y do ponto onde ele está sendo desenhado.

Passo 3

Vamos escolher alguns pontos no plano cartesiano para visualizar como ficam os vetores:
  • Ponto (1, 0):
    • r(1, 0) = (0, 1)
    • Isso resulta em um vetor que aponta para cima com comprimento 1.
  • Ponto (0, 1):
    • r(0, 1) = (-1, 0)
    • Aqui, o vetor aponta para a esquerda com comprimento 1.
  • Ponto (-1, 0):
    • r(-1, 0) = (0, -1)
    • O vetor aponta para baixo com comprimento 1.
  • Ponto (0, -1):
    • r(0, -1) = (1, 0)
    • O vetor aponta para a direita com comprimento 1.

Passo 4

Observando esses vetores, percebemos que eles estão sempre perpendiculares à posição do ponto (x, y) em relação à origem e têm um comprimento constante. Isso sugere que o campo vetorial está girando em torno da origem.

Passo 5

Para representar graficamente, vamos desenhar vetores em vários pontos ao redor da origem, todos circulando no sentido anti-horário. Cada vetor terá o mesmo comprimento, indicando que a magnitude do campo vetorial é constante em todos os pontos.

Passo 6

Além dos pontos escolhidos anteriormente, podemos adicionar mais vetores em outros pontos para reforçar o padrão circular. Por exemplo:
  • Ponto (1, 1):
    • r(1, 1) = (-1, 1)
    • Vetor apontando diagonalmente para cima e para a esquerda.
  • Ponto (-1, 1):
    • r(-1, 1) = (-1, -1)
    • Vetor apontando diagonalmente para baixo e para a esquerda.
  • Ponto (-1, -1):
    • r(-1, -1) = (1, -1)
    • Vetor apontando diagonalmente para baixo e para a direita.
  • Ponto (1, -1):
    • r(1, -1) = (1, 1)
    • Vetor apontando diagonalmente para cima e para a direita.

Passo 7

Com todos esses vetores desenhados, podemos ver claramente que eles formam um campo rotacional ao redor da origem. Esse padrão é característico de campos vetoriais associados a movimentos circulares ou rotativos.

Resposta

O campo vetorial r(x, y) = (-y, x), quando representado graficamente, forma um padrão circular em torno da origem, com vetores apontando no sentido anti-horário e com comprimento constante em todos os pontos. Isso indica um movimento rotacional uniforme ao redor do ponto central.

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