Usando séries de potência, encontre a relação de recorrência para o problema:
y^prime prime-2 x y^prime+y=0
próximo ao ponto ordinário x=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando séries de potência! O problema que temos é:
y'' - 2x y' + y = 0
Estamos trabalhando com equações diferenciais e séries de potência, e vamos precisar expandir a solução $ y $ em uma série de potências ao redor de $ x = 0 $.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução $ y $ pode ser escrita como uma série de potências centrada em 0:
y
Aqui, $ a_n $ são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de $ y $. A primeira derivada é:
y
E a segunda derivada é:
y' = sumn=1^infty n an x^n-1

Passo 4

Substituímos $ y $, $ y’ $ e $ y’’ $ na equação original:
y

Passo 5

Vamos ajustar os índices das somas para que todas fiquem com $ x^n $. Primeiro, para a segunda soma:
x^n
E para a primeira soma, substituindo $ k = n-2 $:
-2x sumn=1^infty n an x^n-1 = -2 sumn=1^infty n an x^n
Agora, reescrevemos todas as somas com $ x^k $:
k = n-2

Passo 6

Vamos juntar todas as somas em uma única soma:
sumk=0^infty [ (k+2)(k+1) ak+2 - 2k ak + ak ] x^k = 0
Simplificando os termos:
sumk=0^infty [ (k+2)(k+1) ak+2 - (2k - 1) ak ] x^k = 0

Passo 7

Para que a igualdade seja válida para todo $ x $, os coeficientes de cada potência de $ x^k $ devem ser iguais a zero. Então, temos a relação de recorrência:
x
Isolando $ a_{k+2} $:
x^k

Resposta

A relação de recorrência é:
ak+2 = 2k - 1(k+2)(k+1), ak

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