Usando séries de potência, encontre a relação de recorrência para o problema:
próximo ao ponto ordinário
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando séries de potência! O problema que temos é:
Estamos trabalhando com equações diferenciais e séries de potência, e vamos precisar expandir a solução $ y $ em uma série de potências ao redor de $ x = 0 $.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução $ y $ pode ser escrita como uma série de potências centrada em 0:
Aqui, $ a_n $ são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de $ y $. A primeira derivada é:
E a segunda derivada é:
Passo 4
Substituímos $ y $, $ y’ $ e $ y’’ $ na equação original:
Passo 5
Vamos ajustar os índices das somas para que todas fiquem com $ x^n $. Primeiro, para a segunda soma:
E para a primeira soma, substituindo $ k = n-2 $:
Agora, reescrevemos todas as somas com $ x^k $:
Passo 6
Vamos juntar todas as somas em uma única soma:
Simplificando os termos:
Passo 7
Para que a igualdade seja válida para todo $ x $, os coeficientes de cada potência de $ x^k $ devem ser iguais a zero. Então, temos a relação de recorrência:
Isolando $ a_{k+2} $:
Resposta
A relação de recorrência é: