Represente uma das integrais indefinidas como uma série de potências, em seguida calcule a integral:
\int e^{-x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int e^{-x^2}\,dx
usando uma representação em série de potências. O conteúdo que vamos usar é a expansão em série de Taylor (ou Maclaurin) de e^u e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Começamos lembrando que
e^{u}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{u^n}{n!}.
Aqui tomamos u=-x^2, logo
e^{-x^2} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-x^2)^n}{n!} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\,x^{2n}.

Passo 3

Agora integramos termo a termo:
\int e^{-x^2}\,dx =\int\Bigl(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\,x^{2n}\Bigr)dx =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\int x^{2n}\,dx.
Como \displaystyle\int x^{2n}\,dx=\frac{x^{2n+1}}{2n+1}, obtemos
\int e^{-x^2}\,dx =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\,\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+C.

Passo 4

Essa série define, a menos de constantes, a função erro \erf(x), dada por
\erf(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{-t^2}\,dt.
Invertendo, a integral indefinida fica
\int e^{-x^2}\,dx =\frac{\sqrt{\pi}}{2}\,\erf(x)+C.

Resposta

A expansão em série de potências é
\int e^{-x^2}\,dx =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\,\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+C
e, em forma fechada,
\int e^{-x^2}\,dx =\frac{\sqrt{\pi}}{2}\,\erf(x)+C.

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