Avalie se cada sentença a seguir é falsa (
) ou verdadeira (
). Justifique cada sentença. ( ) (1,0 pts) A série
diverge.
( )
Segundo o teste para Séries geometricas:
converge se
; caso contrário, diverge.
( ) (2,0 pts) Pelo teste da Série p temos que
converge se
; caso contrário, diverge.
( ) (
) Para avaliar Séries com termos nāo negativos: podemos usar o teste da integral, o teste da razāo ou o teste da raiz e também comparar a uma série conhecida por meio do teste da comparaçāo.
( )
Suponha que
converge, então a série
também converge, una vez que a convergência implica na convergência absoluta.
( )
( ) (2,0 pts) Pelo teste da Série p temos que
( ) (
( )
Passo 1
O enunciado apresenta cinco afirmativas sobre critérios de convergência de séries numéricas e pede para avaliar cada uma como verdadeira (V) ou falsa (F), justificando. Vamos usar os testes de séries telescópicas, geométricas,
-séries, integral, razão, raiz, comparação e o conceito de convergência absoluta.
Passo 2
Afirmativa 1: “A série
diverge.”
Essa é uma série telescópica. Os somatórios parciais são
Essa é uma série telescópica. Os somatórios parciais são
Fazendo
, obtém-se
, logo converge (para 1). Portanto, a afirmativa é falsa.
Passo 3
Afirmativa 2: “Segundo o teste para séries geométricas:
converge se
; caso contrário, diverge.”
O teste correto diz que a série geométrica converge somente se e diverge se
. A afirmativa inverteu as condições, logo é falsa.
O teste correto diz que a série geométrica converge somente se
Passo 4
Afirmativa 3: “Pelo teste da série
temos que
converge se
; caso contrário, diverge.”
O teste -série afirma que
converge se e somente se
e diverge quando
. A afirmativa trocou as desigualdades, por isso é falsa.
O teste
Passo 5
Afirmativa 4: “Para avaliar séries com termos não negativos: podemos usar o teste da integral, o teste da razão ou o teste da raiz e também comparar a uma série conhecida por meio do teste da comparação.”
Todos esses testes (integral, razão, raiz e comparação) são válidos e aplicáveis a séries de termos não negativos. Portanto, a afirmativa é verdadeira.
Todos esses testes (integral, razão, raiz e comparação) são válidos e aplicáveis a séries de termos não negativos. Portanto, a afirmativa é verdadeira.
Passo 6
Afirmativa 5: “Suponha que
converge, então a série
também converge, uma vez que a convergência implica na convergência absoluta.”
Na verdade, convergência não implica convergência absoluta: há séries convergentes condicionalmente que não são absolutamente convergentes (por exemplo, a série alternada de Leibniz). Logo, a afirmativa é falsa.
Na verdade, convergência não implica convergência absoluta: há séries convergentes condicionalmente que não são absolutamente convergentes (por exemplo, a série alternada de Leibniz). Logo, a afirmativa é falsa.
Resposta
(1) F
(2) F
(3) F
(4) V
(5) F
(2) F
(3) F
(4) V
(5) F