(6,0 \mathrm{pts}) Avalie se cada sentença a seguir é falsa ( F ) ou verdadeira ( V ). Justifique cada sentença. ( ) (1,0 pts) A série \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right) diverge.
( ) (1,0 \mathrm{pts}) Segundo o teste para Séries geometricas: \sum_{n=0}^{\infty} a r^{n} converge se |r| \geq 1; caso contrário, diverge.
( ) (2,0 pts) Pelo teste da Série p temos que \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}} converge se p \leq 1; caso contrário, diverge.
( ) ( 1,0 \mathrm{pts} ) Para avaliar Séries com termos nāo negativos: podemos usar o teste da integral, o teste da razāo ou o teste da raiz e também comparar a uma série conhecida por meio do teste da comparaçāo.
( ) (1,0 \mathrm{pts}) Suponha que \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} converge, então a série \sum_{n=0}^{\infty}\left|a_{n}\right| também converge, una vez que a convergência implica na convergência absoluta.

Passo 1

O enunciado apresenta cinco afirmativas sobre critérios de convergência de séries numéricas e pede para avaliar cada uma como verdadeira (V) ou falsa (F), justificando. Vamos usar os testes de séries telescópicas, geométricas, p-séries, integral, razão, raiz, comparação e o conceito de convergência absoluta.

Passo 2

Afirmativa 1: “A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(\tfrac{1}{n}-\tfrac{1}{n+1}\bigr) diverge.”
Essa é uma série telescópica. Os somatórios parciais são
S_N = \sum_{n=1}^{N}\Bigl(\frac1n-\frac1{n+1}\Bigr) = \bigl(1-\tfrac12\bigr)+\bigl(\tfrac12-\tfrac13\bigr)+\cdots+\bigl(\tfrac1N-\tfrac1{N+1}\bigr) = 1-\frac{1}{N+1}.
Fazendo N\to\infty, obtém-se \lim_{N\to\infty}S_N=1, logo converge (para 1). Portanto, a afirmativa é falsa.

Passo 3

Afirmativa 2: “Segundo o teste para séries geométricas: \sum_{n=0}^{\infty}a\,r^{n} converge se \lvert r\rvert\ge1; caso contrário, diverge.”
O teste correto diz que a série geométrica converge somente se \lvert r\rvert<1 e diverge se \lvert r\rvert\ge1. A afirmativa inverteu as condições, logo é falsa.

Passo 4

Afirmativa 3: “Pelo teste da série p temos que \sum_{n=1}^{\infty} \tfrac{1}{n^{p}} converge se p\le1; caso contrário, diverge.”
O teste p-série afirma que \sum1/n^p converge se e somente se p>1 e diverge quando p\le1. A afirmativa trocou as desigualdades, por isso é falsa.

Passo 5

Afirmativa 4: “Para avaliar séries com termos não negativos: podemos usar o teste da integral, o teste da razão ou o teste da raiz e também comparar a uma série conhecida por meio do teste da comparação.”
Todos esses testes (integral, razão, raiz e comparação) são válidos e aplicáveis a séries de termos não negativos. Portanto, a afirmativa é verdadeira.

Passo 6

Afirmativa 5: “Suponha que \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} converge, então a série \sum_{n=0}^{\infty}\lvert a_{n}\rvert também converge, uma vez que a convergência implica na convergência absoluta.”
Na verdade, convergência não implica convergência absoluta: há séries convergentes condicionalmente que não são absolutamente convergentes (por exemplo, a série alternada de Leibniz). Logo, a afirmativa é falsa.

Resposta

(1) F
(2) F
(3) F
(4) V
(5) F

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