( 10,0 \mathrm{pts} ) Ache os valores de x para os quais a Série \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{2^{n} x^{n}}{n 3^{n}} é absolutamente convergente, convergente, condicionalmente convergente e determine seu raio de convergência.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{2^{n}x^{n}}{n\,3^{n}},
isto é, determinar para quais valores de x ela é absolutamente convergente, convergente (mesmo que condicionalmente), condicionalmente convergente e encontrar o raio de convergência. Vamos usar o teste da razão para o caso absoluto e depois analisar os pontos extremos do intervalo de convergência.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão à série de termos positivos
a_n = \left|\frac{2^{n}x^{n}}{n\,3^{n}}\right| = \frac{(2|x|)^{n}}{n\,3^{n}}.
Calculamos
L = \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{(2|x|)^{n+1}}{(n+1)\,3^{n+1}}\cdot\frac{n\,3^{n}}{(2|x|)^{n}} = \frac{2|x|}{3}\,\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1} = \frac{2|x|}{3}.
O teste da razão diz que a série de módulos converge se L<1, isto é, se
\frac{2|x|}{3}<1 \quad\Longleftrightarrow\quad |x|<\frac{3}{2}.

Passo 3

Da análise do teste da razão segue:
  • A série é absolutamente convergente para |x|<\frac{3}{2}.
  • A série diverge em sentido absoluto para |x|>\frac{3}{2}.
O raio de convergência R é exatamente o valor de |x| que faz L=1, logo
R = \frac{3}{2}.

Passo 4

Agora testamos os pontos na fronteira |x|=3/2.
  1. Para x=\tfrac{3}{2}, o termo geral fica (-1)^{n+1}\frac{2^{n}(3/2)^{n}}{n\,3^{n}} =(-1)^{n+1}\frac{3^{n}}{n\,3^{n}} =\frac{(-1)^{n+1}}{n}.Essa é a série alternante harmônica \sum(-1)^{n+1}/n, que converge (teste de Leibniz), mas não converge absolutamente.
  2. Para x=-\tfrac{3}{2}, o termo geral é (-1)^{n+1}\frac{2^{n}(-3/2)^{n}}{n\,3^{n}} =(-1)^{n+1}\frac{(-1)^{n}3^{n}}{n\,3^{n}} =-\frac{1}{n}.Então a série vira -\sum1/n, que diverge (série harmônica).

Passo 5

Colocando tudo junto:
  • Absolutamente convergente: \displaystyle |x|<\tfrac{3}{2}.
  • Convergente (pelo menos condicional): ocorre sempre que a série converge, ou seja, em |x|<\frac{3}{2} \quad\text{e também em}\quad x=\frac{3}{2}.é
  • Condicionalmente convergente: somente em x=\tfrac{3}{2}.
  • Raio de convergência: R = \frac{3}{2}.

Resposta

Absolutamente convergente para |x|<\tfrac{3}{2}.
Convergente (pelo menos condicionalmente) para -\tfrac{3}{2}<x\le\tfrac{3}{2}.
Condicionalmente convergente apenas em x=\tfrac{3}{2}.
Raio de convergência R=\tfrac{3}{2}.

Exercícios relacionados