( 10,0 \mathrm{pts} ) Ache os valores de x para os quais a Série \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{2^{n} x^{n}}{n 3^{n}} é absolutamente convergente, convergente, condicionalmente convergente e determine seu raio de convergência.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
isto é, determinar para quais valores de x ela é absolutamente convergente, convergente (mesmo que condicionalmente), condicionalmente convergente e encontrar o raio de convergência. Vamos usar o teste da razão para o caso absoluto e depois analisar os pontos extremos do intervalo de convergência.
Passo 2
Aplicamos o teste da razão à série de termos positivos
A série é absolutamente convergente para|x|<\frac{3}{2}.
A série diverge em sentido absoluto para|x|>\frac{3}{2}.
O raio de convergência R é exatamente o valor de |x| que faz L=1, logo
R = \frac{3}{2}.
Passo 4
Agora testamos os pontos na fronteira |x|=3/2.
Para x=\tfrac{3}{2}, o termo geral fica(-1)^{n+1}\frac{2^{n}(3/2)^{n}}{n\,3^{n}} =(-1)^{n+1}\frac{3^{n}}{n\,3^{n}} =\frac{(-1)^{n+1}}{n}.Essa é a série alternante harmônica \sum(-1)^{n+1}/n, que converge (teste de Leibniz), mas não converge absolutamente.
Para x=-\tfrac{3}{2}, o termo geral é(-1)^{n+1}\frac{2^{n}(-3/2)^{n}}{n\,3^{n}} =(-1)^{n+1}\frac{(-1)^{n}3^{n}}{n\,3^{n}} =-\frac{1}{n}.Então a série vira -\sum1/n, que diverge (série harmônica).
Convergente (pelo menos condicional): ocorre sempre que a série converge, ou seja, em|x|<\frac{3}{2} \quad\text{e também em}\quad x=\frac{3}{2}.é
Condicionalmente convergente: somente em x=\tfrac{3}{2}.
Raio de convergência:R = \frac{3}{2}.
Resposta
Absolutamente convergente para |x|<\tfrac{3}{2}.
Convergente (pelo menos condicionalmente) para -\tfrac{3}{2}<x\le\tfrac{3}{2}.
Condicionalmente convergente apenas em x=\tfrac{3}{2}.
Raio de convergência R=\tfrac{3}{2}.