Represente em intervalo real a função \mathrm{f}(\mathrm{x})=\sqrt{5 x+3}+\sqrt{-x+1}.

Passo 1

O enunciado pede: representar em intervalo real a função \mathrm{f}(\mathrm{x})=\sqrt{5 x+3}+\sqrt{-x+1}.
Isto significa encontrar o domínio de \mathrm{f}, ou seja, todos os valores reais de x para os quais a expressão está bem definida como número real.
As informações dadas são exatamente os dois radicais \sqrt{5x+3} e \sqrt{-x+1}.

Passo 2

Regra básica importante (aqui uma mini-aula): para que \sqrt{A} seja um número real é necessário e suficiente que o radicando A seja maior ou igual a zero. Em símbolos:
\sqrt{A}\\ \text{é real} \iff A \ge 0.é
Isso ocorre porque a raiz quadrada principal de um número real só está definida quando o número é não negativo.
Portanto, para que \mathrm{f}(x) seja real devemos ter simultaneamente
5x+3 \ge 0 \quad\text{e}\quad -x+1 \ge 0.

Passo 3

Resolver a primeira desigualdade \,5x+3 \ge 0\,.
Passos:
5x+3 \ge 0 \quad\Rightarrow\quad 5x \ge -3 \quad\Rightarrow\quad x \ge -\tfrac{3}{5}.
Como decimal isso é x \ge -0,6, mas vou manter em forma de fração para exatidão: \,x \ge -\tfrac{3}{5}\,.

Passo 4

Resolver a segunda desigualdade \,-x+1 \ge 0\,.
Passos:
-x+1 \ge 0 \quad\Rightarrow\quad -x \ge -1 \quad\Rightarrow\quad x \le 1,
onde ao multiplicar por -1 a desigualdade inverteu de sentido. Então a condição é \,x \le 1\,.

Passo 5

Agora devemos intersectar as duas condições (ambas precisam valer ao mesmo tempo). Em notação de intervalos temos:
x \in \big[-\tfrac{3}{5},\infty\big)\quad\text{e}\quad x \in \big(-\infty,1\big],
então o domínio é a interseção
\big[-\tfrac{3}{5},\infty\big)\cap\big(-\infty,1\big] = \big[-\tfrac{3}{5},1\big].
Verificação rápida dos extremos:
  • Para x=-\tfrac{3}{5}: 5x+3=0 (aceitável) e -x+1= \tfrac{8}{5}>0 (aceitável).
  • Para x=1: 5x+3=8>0 e -x+1=0 (aceitável).
    Logo ambos extremos pertencem ao domínio.

Resposta

\big[-\tfrac{3}{5},1\big]

Exercícios relacionados