Represente no plano cartesiano os possíveis vértices de um triângulo equilátero de lado 4 , onde um dos lados está no eixo das abscissas e o ponto
é um dos vértices do triângulo.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Um triângulo equilátero tem lado de comprimento
. - Um dos lados do triângulo está sobre o eixo das abscissas (ou seja, dois vértices possuem coordenadas
). - O ponto
é um dos vértices do triângulo.
O que o problema pede:
- Determinar (representar) no plano cartesiano todas as posições possíveis dos vértices do triângulo que satisfazem as condições acima.
Passo 2
Entendimento geométrico essencial (por que isso simplifica o problema).
- Como um dos lados está sobre o eixo
, esse lado tem seus dois extremos sobre o eixo, com coordenadas e e . - O ponto
está sobre o eixo . Um triângulo equilátero não pode ter os três vértices colineares, logo não pode ser o vértice “isolado” fora do lado que está no eixo; portanto deve ser um dos extremos do lado que está no eixo. Conclusão: o outro extremo do lado sobre o eixo está a distância de .
Passo 3
Calcular as coordenadas possíveis do outro extremo do lado que está no eixo.
- Seja
o outro extremo. Pela distância no eixo:
Resolvendo:
ou
Portanto os dois possíveis pares de extremos do lado sobre o eixo são
e
, ou
e
.
Passo 4
Determinar a altura do triângulo equilátero (fórmula e derivação curta).
- Em um triângulo equilátero de lado
, a altura pode ser obtida por trigonometria ou Pitágoras: dividindo o triângulo pela altura obtém-se um triângulo retângulo com catetos e e hipotenusa . Assim
- Para
:
Passo 5
Encontrar as coordenadas do terceiro vértice (o vértice fora do eixo) para cada caso.
- O terceiro vértice está verticalmente alinhado com o ponto médio do segmento-base. O ponto médio do segmento com extremos
e tem abscissa . - Caso 1: base
— . O ponto médio tem abscissa
Então os possíveis terceiros vértices são
(acima do eixo) e
(abaixo do eixo).
- Caso 2: base
— . O ponto médio tem abscissa
Então os possíveis terceiros vértices são
e
.
Passo 6
Checagem rápida (verificação de que os comprimentos são iguais a
).
- Exemplo: para a tríade
, a distância entre e é
o que confirma que todos os lados têm comprimento
. A simetria garante a mesma verificação para os outros casos.
Passo 7
Conclusão: há quatro triângulos possíveis (duas escolhas para a direção do outro extremo do lado sobre o eixo e, para cada uma, dois lugares para o vértice fora do eixo — acima ou abaixo).