Represente no plano cartesiano os possíveis vértices de um triângulo equilátero de lado 4 , onde um dos lados está no eixo das abscissas e o ponto A(1,0) é um dos vértices do triângulo.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Um triângulo equilátero tem lado de comprimento \,4\,.
  • Um dos lados do triângulo está sobre o eixo das abscissas (ou seja, dois vértices possuem coordenadas (x,0)).
  • O ponto A(1,0) é um dos vértices do triângulo.
O que o problema pede:
  • Determinar (representar) no plano cartesiano todas as posições possíveis dos vértices do triângulo que satisfazem as condições acima.

Passo 2

Entendimento geométrico essencial (por que isso simplifica o problema).
  • Como um dos lados está sobre o eixo x, esse lado tem seus dois extremos sobre o eixo, com coordenadas (x_1,0) e (x_2,0) e |x_2-x_1|=4.
  • O ponto A(1,0) está sobre o eixo x. Um triângulo equilátero não pode ter os três vértices colineares, logo A(1,0) não pode ser o vértice “isolado” fora do lado que está no eixo; portanto A deve ser um dos extremos do lado que está no eixo. Conclusão: o outro extremo do lado sobre o eixo está a distância 4 de A.

Passo 3

Calcular as coordenadas possíveis do outro extremo do lado que está no eixo.
  • Seja B(x,0) o outro extremo. Pela distância no eixo:
|x-1|=4.
Resolvendo:
x-1=4\quad\Rightarrow\quad x=5,
ou
x-1=-4\quad\Rightarrow\quad x=-3.
Portanto os dois possíveis pares de extremos do lado sobre o eixo são (1,0) e (5,0), ou ( -3,0) e (1,0).

Passo 4

Determinar a altura do triângulo equilátero (fórmula e derivação curta).
  • Em um triângulo equilátero de lado s, a altura h pode ser obtida por trigonometria ou Pitágoras: dividindo o triângulo pela altura obtém-se um triângulo retângulo com catetos h e s/2 e hipotenusa s. Assim
h=\sqrt{s^{2}-\left(\frac{s}{2}\right)^{2}}=\sqrt{s^{2}-\frac{s^{2}}{4}}=\sqrt{\frac{3}{4}s^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}s.
  • Para s=4:
h=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 4=2\sqrt{3}.

Passo 5

Encontrar as coordenadas do terceiro vértice (o vértice fora do eixo) para cada caso.
  • O terceiro vértice está verticalmente alinhado com o ponto médio do segmento-base. O ponto médio do segmento com extremos x=a e x=b tem abscissa \dfrac{a+b}{2}.
  • Caso 1: base (1,0) (5,0). O ponto médio tem abscissa
\frac{1+5}{2}=3.
Então os possíveis terceiros vértices são \left(3,2\sqrt{3}\right) (acima do eixo) e \left(3,-2\sqrt{3}\right) (abaixo do eixo).
  • Caso 2: base (-3,0) (1,0). O ponto médio tem abscissa
\frac{-3+1}{2}=-1.
Então os possíveis terceiros vértices são \left(-1,2\sqrt{3}\right) e \left(-1,-2\sqrt{3}\right).

Passo 6

Checagem rápida (verificação de que os comprimentos são iguais a 4).
  • Exemplo: para a tríade (1,0),(5,0),(3,2\sqrt{3}), a distância entre (1,0) e (3,2\sqrt{3}) é
\sqrt{(3-1)^{2}+(2\sqrt{3}-0)^{2}}=\sqrt{2^{2}+ (2\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{4+12}=\sqrt{16}=4,
o que confirma que todos os lados têm comprimento 4. A simetria garante a mesma verificação para os outros casos.

Passo 7

Conclusão: há quatro triângulos possíveis (duas escolhas para a direção do outro extremo do lado sobre o eixo e, para cada uma, dois lugares para o vértice fora do eixo — acima ou abaixo).

Resposta

(1,0),\\ (5,0),\\ \bigl(3,\,2\sqrt{3}\bigr)
(1,0),\\ (5,0),\\ \bigl(3,\,-2\sqrt{3}\bigr)
( -3,0),\\ (1,0),\\ \bigl(-1,\,2\sqrt{3}\bigr)
( -3,0),\\ (1,0),\\ \bigl(-1,\,-2\sqrt{3}\bigr)

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