A matriz A da questão é invertível. Determine A^{-1}, utilizando operações sobre linhas.
A=\left[\begin{array}{ccc} 3 & 4 & 7 \\\\ 5 & 2 & 8 \\\\ 1 & -1 & 3 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz A e pede para determinar A^{-1} usando operações sobre linhas. A matriz fornecida é:
A=\begin{pmatrix} 3 & 4 & 7\\[4pt] 5 & 2 & 8\\[4pt] 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}.
Portanto a única pergunta é: calcular \,A^{-1}\, a partir de A usando operações elementares sobre linhas.]

Passo 2

Plano de ação (breve e claro): para encontrar A^{-1} usamos o método de Gauss–Jordan. Isso consiste em escrever a matriz aumentada
\bigl[\,A\mid I_3\,\bigr]
onde I_3 é a matriz identidade 3\times3, e aplicar operações elementares sobre linhas até obter a forma \bigl[I_3\mid B\bigr]. A matriz B obtida à direita será A^{-1}.
Lembrete sobre operações elementares de linha (essas operações preservam a equivalência e permitem transformar A em I):
  • trocar duas linhas: R_i\leftrightarrow R_j;
  • multiplicar uma linha por escalar não nulo: R_i\leftarrow \lambda R_i com \lambda\neq0;
  • somar múltiplo de uma linha em outra: R_i\leftarrow R_i + \mu R_j.
Vou aplicar essas operações e mostrar cada passo com as contas explícitas para você conseguir reproduzir na prova.

Passo 3

Escrevemos a matriz aumentada inicial:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 3 & 4 & 7 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 5 & 2 & 8 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & -1 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Escolho usar a linha que já tem um 1 como pivô para simplificar contas; então troco R_1 com R_3:
R_1\leftrightarrow R_3.
Após a troca:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -1 & 3 & 0 & 0 & 1\\[4pt] 5 & 2 & 8 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 3 & 4 & 7 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right].]

Passo 4

Elimino as entradas abaixo do pivô 1 na primeira coluna. Faço:
R_2\leftarrow R_2 - 5R_1,\qquad R_3\leftarrow R_3 - 3R_1.
Calculemos cada linha resultante:
Para R_2:
  • coluna 1: 5-5\cdot1=0.
  • coluna 2: 2-5\cdot(-1)=2+5=7.
  • coluna 3: 8-5\cdot3=8-15=-7.
  • blocos aumentados: 0-5\cdot0=0, 1-5\cdot0=1, 0-5\cdot1=-5.
Logo R_2=[0\\ \\\ 7\\ \\\ -7\mid 0\\ \\\ 1\\ \\\ -5].
Para R_3:
  • coluna 1: 3-3\cdot1=0.
  • coluna 2: 4-3\cdot(-1)=4+3=7.
  • coluna 3: 7-3\cdot3=7-9=-2.
  • aumentados: 1-3\cdot0=1, 0-3\cdot0=0, 0-3\cdot1=-3.
Logo R_3=[0\\ \\\ 7\\ \\\ -2\mid 1\\ \\\ 0\\ \\\ -3].
A matriz aumentada fica:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -1 & 3 & 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 7 & -7 & 0 & 1 & -5\\[4pt] 0 & 7 & -2 & 1 & 0 & -3 \end{array}\right].]

Passo 5

Agora quero o pivô 1 na segunda coluna. Divido R_2 por 7:
R_2\leftarrow \frac{1}{7}R_2.
Isso dá
R_2=\bigl[0\\ \\\ 1\\ \\\ -1 \mid 0\\ \tfrac{1}{7}\\\ -\tfrac{5}{7}\bigr].
Aumentada:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -1 & 3 & 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -1 & 0 & \tfrac{1}{7} & -\tfrac{5}{7}\\[4pt] 0 & 7 & -2 & 1 & 0 & -3 \end{array}\right].]

Passo 6

Elimino as outras entradas na segunda coluna, ou seja, torno a coluna 2 igual a (0,1,0)^T. Faço:
R_1\leftarrow R_1 + R_2 \qquad\text{(para zerar \(-1\) em \(R_1\))},
R_3\leftarrow R_3 - 7R_2 \qquad\text{(para zerar \(7\) em \(R_3\))}.
Calculemos R_1+R_2:
  • colunas: 1+0=1, -1+1=0, 3+(-1)=2.
  • aumentados: 0+0=0, 0+\tfrac{1}{7}=\tfrac{1}{7}, 1+(-\tfrac{5}{7})=\tfrac{2}{7}.
Então R_1=[1\\ \\\ 0\\ \\\ 2 \mid 0\\ \tfrac{1}{7}\\ \tfrac{2}{7}].
Agora R_3-7R_2:
  • colunas: 0-7\cdot0=0, 7-7\cdot1=0, -2-7\cdot(-1)=-2+7=5.
  • aumentados: 1-7\cdot0=1, 0-7\cdot\tfrac{1}{7}=0-1=-1, -3-7\cdot(-\tfrac{5}{7})=-3+5=2.
Então R_3=[0\\ \\\ 0\\ \\\ 5 \mid 1\\\ -1\\\ 2].
A matriz aumentada passa a ser:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 2 & 0 & \tfrac{1}{7} & \tfrac{2}{7}\\[4pt] 0 & 1 & -1 & 0 & \tfrac{1}{7} & -\tfrac{5}{7}\\[4pt] 0 & 0 & 5 & 1 & -1 & 2 \end{array}\right].]

Passo 7

Agora pivot na terceira coluna é 5 em R_3. Normalizo para obter 1:
R_3\leftarrow \frac{1}{5}R_3.
Isso dá
R_3=\bigl[0\\\ 0\\\ 1 \mid \tfrac{1}{5}\\\ -\tfrac{1}{5}\\ \tfrac{2}{5}\bigr].
Aumentada:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 2 & 0 & \tfrac{1}{7} & \tfrac{2}{7}\\[4pt] 0 & 1 & -1 & 0 & \tfrac{1}{7} & -\tfrac{5}{7}\\[4pt] 0 & 0 & 1 & \tfrac{1}{5} & -\tfrac{1}{5} & \tfrac{2}{5} \end{array}\right].]

Passo 8

Elimino as entradas acima do pivô na terceira coluna (zerar os 2 em R_1 e o -1 em R_2). Faço:
R_1\leftarrow R_1 - 2R_3,\qquad R_2\leftarrow R_2 + R_3.
Calculemos R_1 - 2R_3:
  • colunas: 1-2\cdot0=1, 0-2\cdot0=0, 2-2\cdot1=0.
  • aumentados: primeira entrada 0-2\cdot\tfrac{1}{5}=-\tfrac{2}{5}.
    segunda entrada \tfrac{1}{7}-2\cdot\bigl(-\tfrac{1}{5}\bigr)=\tfrac{1}{7}+\tfrac{2}{5}=\tfrac{5}{35}+\tfrac{14}{35}=\tfrac{19}{35}.
    terceira entrada \tfrac{2}{7}-2\cdot\tfrac{2}{5}=\tfrac{2}{7}-\tfrac{4}{5}=\tfrac{10}{35}-\tfrac{28}{35}=-\tfrac{18}{35}.
Logo
R_1=\bigl[1\\\ 0\\\ 0 \mid -\tfrac{2}{5}\\ \tfrac{19}{35}\\\ -\tfrac{18}{35}\bigr].
Calculemos R_2 + R_3:
  • colunas: 0+0=0, 1+0=1, -1+1=0.
  • aumentados: primeira entrada 0+\tfrac{1}{5}=\tfrac{1}{5}.
    segunda entrada \tfrac{1}{7}+(-\tfrac{1}{5})=\tfrac{1}{7}-\tfrac{1}{5}=\tfrac{5-7}{35}=-\tfrac{2}{35}.
    terceira entrada -\tfrac{5}{7}+\tfrac{2}{5}=-\tfrac{25}{35}+\tfrac{14}{35}=-\tfrac{11}{35}.
Logo
R_2=\bigl[0\\\ 1\\\ 0 \mid \tfrac{1}{5}\\\ -\tfrac{2}{35}\\\ -\tfrac{11}{35}\bigr].
Após essas eliminações, a parte esquerda é a identidade e a parte direita é A^{-1}:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -\tfrac{2}{5} & \tfrac{19}{35} & -\tfrac{18}{35}\\[4pt] 0 & 1 & 0 & \tfrac{1}{5} & -\tfrac{2}{35} & -\tfrac{11}{35}\\[4pt] 0 & 0 & 1 & \tfrac{1}{5} & -\tfrac{1}{5} & \tfrac{2}{5} \end{array}\right].]

Passo 9

Resumo final do que foi obtido: à direita da identidade temos A^{-1}. Podemos apresentar A^{-1} em forma de matriz (mantendo as frações como estão). Assim:
A^{-1}=\begin{pmatrix} -\tfrac{2}{5} & \tfrac{19}{35} & -\tfrac{18}{35}\\[6pt] \tfrac{1}{5} & -\tfrac{2}{35} & -\tfrac{11}{35}\\[6pt] \tfrac{1}{5} & -\tfrac{1}{5} & \tfrac{2}{5} \end{pmatrix}.
Se preferir, todos os elementos podem ser escritos com denominador comum 35:
A^{-1}=\frac{1}{35}\begin{pmatrix} -14 & 19 & -18\\[4pt] 7 & -2 & -11\\[4pt] 7 & -7 & 14 \end{pmatrix},
o que é somente uma forma equivalente (multiplicando cada linha pela constante apropriada para obter denominador 35).]

Resposta

A^{-1}=\begin{pmatrix} -\tfrac{2}{5} & \tfrac{19}{35} & -\tfrac{18}{35}\\[6pt] \tfrac{1}{5} & -\tfrac{2}{35} & -\tfrac{11}{35}\\[6pt] \tfrac{1}{5} & -\tfrac{1}{5} & \tfrac{2}{5} \end{pmatrix}]

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