Se A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2 & p \\\\ 2 & 5\end{array}\right) é a inversa da matriz A=\left(\begin{array}{cc}q & -2 \\\\ -1 & 1\end{array}\right), qual o valor de p . q ?

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes 2×2 e pede o produto p\cdot q:
A^{-1}=\begin{pmatrix}2 & p\\[4pt] 2 & 5\end{pmatrix}, \qquad A=\begin{pmatrix}q & -2\\[4pt] -1 & 1\end{pmatrix}.
A pergunta é: qual é o valor de p\cdot q?]

Passo 2

Lembrete importante (definição que vamos usar): se uma matriz B é a inversa de A, então vale
B A = I \qquad\text{e}\qquad A B = I,
onde I é a matriz identidade. Para matrizes 2\times2 a identidade é
I=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 3

Como temos A^{-1} explicitamente, é prático usar a igualdade
A^{-1}A=I.
Antes de calcular, recorde como multiplicar duas matrizes 2\times2. Se
X=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}, \qquad Y=\begin{pmatrix}e & f\\[4pt] g & h\end{pmatrix},
então
XY=\begin{pmatrix} ae+bg & af+bh\\[4pt] ce+dg & cf+dh \end{pmatrix}.
Cada entrada do produto é o produto escalar da linha de X com a coluna de Y.]

Passo 4

Agora aplicamos isso a A^{-1}A. Substituindo as entradas dadas:
\begin{pmatrix}2 & p\\[4pt] 2 & 5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}q & -2\\[4pt] -1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2q + p(-1) & 2(-2) + p\cdot 1\\[6pt] 2q + 5(-1) & 2(-2) + 5\cdot 1 \end{pmatrix}.
Essa matriz produto deve ser igual à identidade I. Igualando as entradas correspondentes obtemos quatro equações; começamos pelas mais simples:
2(-2)+p\cdot 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad -4 + p = 0.
Dessa equação vem
p=4.]

Passo 5

Usamos p=4 na entrada (1,1) da igualdade A^{-1}A=I:
2q + p(-1)=1 \quad\Rightarrow\quad 2q - p = 1.
Substituindo p=4,
2q - 4 = 1 \quad\Rightarrow\quad 2q = 5 \quad\Rightarrow\quad q=\frac{5}{2}.

Passo 6

Verificação rápida (não obrigatória, mas boa prática): entrada (2,1)
2q + 5(-1)=2\cdot\frac{5}{2}-5=5-5=0,
e entrada (2,2)
2(-2)+5\cdot1=-4+5=1,
portanto tudo é consistente com I.

Passo 7

Finalmente calculamos o produto pedido:
p\cdot q = 4 \cdot \frac{5}{2} = \frac{20}{2} = 10.

Resposta

10

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