Represente os seguintes números +99_{10} \mathrm{e}-126_{10} \mathrm{em} binário, utilizando a notação sinal-módulo.

Passo 1

O enunciado pede: representar os números +99_{10} e -126_{10} em binário, usando a notação sinal-módulo. Informações dadas:
  • O número decimal positivo +99_{10}.
  • O número decimal negativo -126_{10}.
  • Deve-se usar a notação sinal-módulo (ou seja: um bit de sinal separado da representação da magnitude).
  • O enunciado não especifica a largura (quantos bits no total) da representação.

Passo 2

Decisão sobre o número de bits e explicação do formato sinal-módulo.
  • Na notação sinal-módulo, um bit é reservado para o sinal: 0 para positivo e 1 para negativo. Os demais bits codificam a magnitude absoluta em binário.
  • É preciso escolher uma largura total fixa (por exemplo, 8 bits) para que o sinal e a magnitude tenham posição definida. Quando nada é especificado, é comum usar 8 bits (1 bit de sinal + 7 bits de magnitude) se as magnitudes couberem nesses 7 bits.
  • Verificar a necessidade de bits: a maior magnitude aqui é 126. O maior valor representável com 7 bits de magnitude (bits de peso 2^6 a 2^0) é 2^7-1 = 127. Como 126 \le 127, 7 bits de magnitude são suficientes.
  • Portanto escolho a convenção de 8 bits no total (1 sinal + 7 magnitude). Isso é suficiente e é uma escolha padrão e simples de aplicar na prova.
Explicação do que faremos: converter a magnitude absoluta de cada número para binário em 7 bits (com zeros à esquerda se necessário) e então prefixar o bit de sinal ( 0 para +99, 1 para -126).

Passo 3

Converter 99_{10} para binário (magnitude) com o método da divisão sucessiva por 2.
Faço as divisões e os restos (resto = bit menos significativo):
\begin{array}{l} 99 \div 2 = 49\\ \text{resto}\\\ 1\\\\ 49 \div 2 = 24\\ \text{resto}\\\ 1\\\\ 24 \div 2 = 12\\ \text{resto}\\\ 0\\\\ 12 \div 2 = 6\\ \text{resto}\\\ 0\\\\ 6 \div 2 = 3\\ \text{resto}\\\ 0\\\\ 3 \div 2 = 1\\ \text{resto}\\\ 1\\\\ 1 \div 2 = 0\\ \text{resto}\\\ 1 \end{array}
Os restos, lidos de baixo para cima (do último para o primeiro), formam a representação binária: 1100011_2.
Isso tem exatamente 7 bits, então a magnitude em 7 bits é 1100011_2.

Passo 4

Montar a representação sinal-módulo para +99_{10}.
  • Bit de sinal: 0 (pois é positivo).
  • Magnitude (7 bits): 1100011_2.
Concatenando: o byte de 8 bits fica 0\,1100011, ou seja 01100011_2.
Verificação rápida (conversão binária → decimal): calcular
1\cdot2^{6}+1\cdot2^{5}+0\cdot2^{4}+0\cdot2^{3}+0\cdot2^{2}+1\cdot2^{1}+1\cdot2^{0}=64+32+0+0+0+2+1=99,
confirmando a magnitude.

Passo 5

Converter 126_{10} para binário (magnitude) com divisão por 2:
\begin{array}{l} 126 \div 2 = 63\\ \text{resto}\\\ 0\\\\ 63 \div 2 = 31\\ \text{resto}\\\ 1\\\\ 31 \div 2 = 15\\ \text{resto}\\\ 1\\\\ 15 \div 2 = 7\\ \text{resto}\\\ 1\\\\ 7 \div 2 = 3\\ \text{resto}\\\ 1\\\\ 3 \div 2 = 1\\ \text{resto}\\\ 1\\\\ 1 \div 2 = 0\\ \text{resto}\\\ 1 \end{array}
Lendo os restos de baixo para cima obtém-se 1111110_2 (7 bits), que é a magnitude de 126.

Passo 6

Montar a representação sinal-módulo para -126_{10}.
  • Bit de sinal: 1 (pois é negativo).
  • Magnitude (7 bits): 1111110_2.
Concatenando: o byte de 8 bits fica 1\,1111110, ou seja 11111110_2.
Verificação rápida:
1\cdot2^{6}+1\cdot2^{5}+1\cdot2^{4}+1\cdot2^{3}+1\cdot2^{2}+1\cdot2^{1}+0\cdot2^{0}=64+32+16+8+4+2+0=126,
confirmando a magnitude.

Passo 7

Resumo curto do procedimento (dica para a prova):
  • Para sinal-módulo: reservar 1 bit para sinal (0 positivo, 1 negativo) e usar os outros bits para a magnitude em binário.
  • Converter a magnitude por divisões sucessivas por 2 (restos formam os bits, lidos de baixo para cima).
  • Se faltar bits, completar à esquerda com zeros até a largura escolhida.
  • Escolher largura mínima que comporte a maior magnitude (aqui 7 bits de magnitude bastam) e, se nada for dito, usar 8 bits é uma escolha padrão e segura.

Resposta

+99_{10} = 01100011_2
-126_{10} = 11111110_2

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