Represente os seguintes números complexos no plano de Argand, determine seu módulo e seu argumento. Represente também o conjugado \bar{z} de cada número.
z=3-5 i

Passo 1

O enunciado dá o número complexo z=3-5\,i e pede:
  • representar z no plano de Argand (ou seja, indicar o ponto correspondente);
  • determinar o módulo de z;
  • determinar o argumento de z (o ângulo principal);
  • representar também o conjugado \bar{z}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Parte real: a=3.
  • Parte imaginária: b=-5.

Passo 2

Como representar no plano de Argand (explicação didática):
  • No plano de Argand o eixo horizontal é a parte real e o eixo vertical é a parte imaginária.
  • Um número complexo z=a+bi corresponde ao ponto com coordenadas (a,b).
    Aplicando ao caso dado: z=3-5\,i corresponde ao ponto (3,-5). Isso significa: a partir da origem anda-se 3 unidades para a direita (porque a=3) e 5 unidades para baixo (porque b=-5).

Passo 3

Cálculo do módulo (aula curta e aplicação):
  • Fórmula: para z=a+bi o módulo é
|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}},
onde a é a parte real e b a parte imaginária. Essa fórmula vem da distância euclidiana do ponto (a,b) até a origem no plano.
  • Aplicando com a=3 e b=-5:
|z|=\sqrt{3^{2}+(-5)^{2}}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34}.
Portanto o módulo é \sqrt{34} (se desejar uma aproximação decimal, \sqrt{34}\approx5,830951894, que podemos anotar como 5,8309).

Passo 4

Cálculo do argumento (explicação passo a passo e cuidado com quadrante):
  • Definição prática: para z=a+bi o argumento principal \arg(z) é o ângulo \theta medido a partir do eixo real positivo até o vetor que vai da origem ao ponto (a,b). Em fórmulas usamos a função arco-tangente ajustada ao quadrante:
\theta=\operatorname{atan2}(b,a).
  • Regra rápida: se a>0 então \theta=\arctan\!\left(\dfrac{b}{a}\right) (sem ajuste); se a<0 ou a=0 há que ajustar adicionando \pi ou -\pi/2,\pi/2 conforme o caso. Sempre verificar o sinal de a e b para saber em que quadrante o ponto está.
  • No nosso caso a=3>0 e b=-5<0, então o ponto está no quarto quadrante e não precisamos adicionar \pi. Assim
\arg(z)=\arctan\!\left(\dfrac{b}{a}\right)=\arctan\!\left(\dfrac{-5}{3}\right)=-\arctan\!\left(\dfrac{5}{3}\right).
  • Valor numérico (aproximação): \arctan\!\left(\dfrac{5}{3}\right)\approx1,0304 radianos, logo
\arg(z)\approx-1,0304\\ \text{rad}.
Em graus isso é aproximadamente -59,04^\circ. O sinal negativo indica que o ângulo está abaixo do eixo real (movimento horário).

Passo 5

Representação e cálculo do conjugado (explicação e uso):
  • Definição: o conjugado de z=a+bi é \bar{z}=a-bi. Geometricamente é a reflexão do ponto (a,b) em relação ao eixo real.
  • Aplicando ao caso: z=3-5\,i tem conjugado
\bar{z}=3+5\,i,
que corresponde ao ponto (3,5) no plano de Argand (ou seja, mesma abscissa, sinal oposto da ordenada).

Passo 6

Forma polar / trigonométrica (opcional, mas útil para prova):
  • Qualquer número complexo pode ser escrito como
z=|z|\big(\cos\theta+i\sin\theta\big),
onde |z| é o módulo e \theta=\arg(z).
  • No nosso caso:
z=\sqrt{34}\big(\cos(-\arctan\!\tfrac{5}{3})+i\sin(-\arctan\!\tfrac{5}{3})\big).

Resposta

Representação no plano de Argand: z corresponde ao ponto (3,-5).
Módulo: |z|=\sqrt{34}.
Argumento principal: \arg(z)=-\arctan\!\left(\dfrac{5}{3}\right)\approx-1,0304\\ \text{rad} (\approx-59,04^\circ).
Conjugado: \bar{z}=3+5\,i, que corresponde ao ponto (3,5).

Exercícios relacionados