Represente os seguintes números complexos no plano de Argand, determine seu módulo e seu argumento. Represente também o conjugado
de cada número.
Passo 1
O enunciado dá o número complexo
e pede:
- representar
no plano de Argand (ou seja, indicar o ponto correspondente); - determinar o módulo de
; - determinar o argumento de
(o ângulo principal); - representar também o conjugado
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Parte real:
. - Parte imaginária:
.
Passo 2
Como representar no plano de Argand (explicação didática):
- No plano de Argand o eixo horizontal é a parte real e o eixo vertical é a parte imaginária.
- Um número complexo
corresponde ao ponto com coordenadas .
Aplicando ao caso dado:corresponde ao ponto . Isso significa: a partir da origem anda-se 3 unidades para a direita (porque ) e 5 unidades para baixo (porque ).
Passo 3
Cálculo do módulo (aula curta e aplicação):
- Fórmula: para
o módulo é
onde
é a parte real e
a parte imaginária. Essa fórmula vem da distância euclidiana do ponto
até a origem no plano.
- Aplicando com
e :
Portanto o módulo é
(se desejar uma aproximação decimal,
, que podemos anotar como
).
Passo 4
Cálculo do argumento (explicação passo a passo e cuidado com quadrante):
- Definição prática: para
o argumento principal é o ângulo medido a partir do eixo real positivo até o vetor que vai da origem ao ponto . Em fórmulas usamos a função arco-tangente ajustada ao quadrante:
- Regra rápida: se
então (sem ajuste); se ou há que ajustar adicionando ou conforme o caso. Sempre verificar o sinal de e para saber em que quadrante o ponto está. - No nosso caso
e , então o ponto está no quarto quadrante e não precisamos adicionar . Assim
- Valor numérico (aproximação):
radianos, logo
Em graus isso é aproximadamente
. O sinal negativo indica que o ângulo está abaixo do eixo real (movimento horário).
Passo 5
Representação e cálculo do conjugado (explicação e uso):
- Definição: o conjugado de
é . Geometricamente é a reflexão do ponto em relação ao eixo real. - Aplicando ao caso:
tem conjugado
que corresponde ao ponto
no plano de Argand (ou seja, mesma abscissa, sinal oposto da ordenada).
Passo 6
Forma polar / trigonométrica (opcional, mas útil para prova):
- Qualquer número complexo pode ser escrito como
onde
é o módulo e
.
- No nosso caso:
Resposta
Representação no plano de Argand:
corresponde ao ponto
.
Módulo: .
Argumento principal:
.
Conjugado: , que corresponde ao ponto
.
Módulo:
Argumento principal:
Conjugado: