Determine a solução das equações seguintes considerando
:
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede todas as soluções considerando
.
Informações relevantes:
- A incógnita é
e ela pode ser complexa ( ). - A equação é um polinômio de terceiro grau:
. - O objetivo é encontrar todos os números complexos que satisfazem essa igualdade.
Passo 2
Vamos observar que há um fator comum em todos os termos do polinômio. Explico a ideia de fator comum: quando todos os termos de uma soma têm um mesmo fator, podemos colocá-lo em evidência para simplificar a expressão — isso é uma técnica básica de álgebra que facilita achar raízes.
Colocando
em evidência:
A expressão acima está só fatorada; não resolvemos ainda.
Passo 3
Usamos a propriedade do produto nulo (válida em
): se um produto de fatores é zero, então pelo menos um dos fatores é zero. Aplicando a
obtemos as duas equações a considerar:
Essa propriedade é direta e muito útil em provas e questões de polinômios.
Passo 4
A primeira solução já veio:
.
Agora resolvemos a outra equação:
Aqui preciso explicar o que significa resolver
. No conjunto dos números reais não existe solução (porque quadrado de real é não negativo). Mas em
introduzimos a unidade imaginária
definida por
. Assim, as raízes quadradas de
são exatamente
e
.
Uma maneira alternativa (mais formal) é usar a fórmula para raízes quadráticas ou a forma polar: escrever
e então
e a outra raiz é
. Mas para esta equação simples fica claro que
Passo 5
Juntando tudo: as soluções da equação original são
Também podemos escrever a fatoração completa do polinômio, confirmando as raízes: