Determine a solução das equações seguintes considerando x \in C:
x^{3}+x=0

Passo 1

O enunciado dá a equação x^{3}+x=0 e pede todas as soluções considerando x\in\mathbb{C}.
Informações relevantes:
  • A incógnita é x e ela pode ser complexa ( x\in\mathbb{C}).
  • A equação é um polinômio de terceiro grau: x^{3}+x=0.
  • O objetivo é encontrar todos os números complexos que satisfazem essa igualdade.

Passo 2

Vamos observar que há um fator comum em todos os termos do polinômio. Explico a ideia de fator comum: quando todos os termos de uma soma têm um mesmo fator, podemos colocá-lo em evidência para simplificar a expressão — isso é uma técnica básica de álgebra que facilita achar raízes.
Colocando x em evidência:
x^{3}+x = x\bigl(x^{2}+1\bigr).
A expressão acima está só fatorada; não resolvemos ainda.

Passo 3

Usamos a propriedade do produto nulo (válida em \mathbb{C}): se um produto de fatores é zero, então pelo menos um dos fatores é zero. Aplicando a x\bigl(x^{2}+1\bigr)=0 obtemos as duas equações a considerar:
x=0 \qquad\text{ou}\qquad x^{2}+1=0.
Essa propriedade é direta e muito útil em provas e questões de polinômios.

Passo 4

A primeira solução já veio: x=0.
Agora resolvemos a outra equação:
x^{2}+1=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}=-1.
Aqui preciso explicar o que significa resolver x^{2}=-1. No conjunto dos números reais não existe solução (porque quadrado de real é não negativo). Mas em \mathbb{C} introduzimos a unidade imaginária i definida por i^{2}=-1. Assim, as raízes quadradas de -1 são exatamente i e -i.
Uma maneira alternativa (mais formal) é usar a fórmula para raízes quadráticas ou a forma polar: escrever -1=e^{i\pi} e então \sqrt{-1}=e^{i\pi/2}=i e a outra raiz é e^{i(\pi/2+\pi)}=e^{i3\pi/2}=-i. Mas para esta equação simples fica claro que
x=\pm i.

Passo 5

Juntando tudo: as soluções da equação original são
x=0,\qquad x=i,\qquad x=-i.
Também podemos escrever a fatoração completa do polinômio, confirmando as raízes:
x^{3}+x = x\bigl(x^{2}+1\bigr)=x(x-i)(x+i).

Resposta

x=0
x=i
x=-i

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