Determine a solução das equações seguintes considerando
:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as soluções da equação quadrática
assumindo que
.
Informações dadas (peguei diretamente do enunciado):
- Coeficiente
(do termo ): . - Coeficiente
(do termo ): . - Termo independente
: .
O que é pedido:
- Determinar todos os valores de
(complexos) que satisfazem .
Passo 2
Ferramenta que vamos usar: fórmula quadrática (ou fórmula de Bhaskara). Vou explicar o que é e de onde vem, de modo que você consiga aplicá-la na prova sem decorar cegamente.
A fórmula quadrática resolve equações do tipo
e dá as raízes por
Explicando cada símbolo:
-
são os coeficientes da equação quadrática. - O termo
chama-se discriminante; ele indica a natureza das raízes: - se
: duas raízes reais e distintas; - se
: uma raiz real dupla (duas iguais); - se
: duas raízes complexas conjugadas.
- se
- Quando
usamos a unidade imaginária definida por ; assim para .
Rápida derivação (completar o quadrado) para lembrar de onde vem a fórmula:
Partindo de com
, divide-se por
:
Partindo de
Move
para o outro lado e completa-se o quadrado:
Isto dá
Extraindo raiz e isolando
obtém-se
que é a fórmula acima.
Passo 3
Calcular o discriminante para os coeficientes dados:
Fazendo as contas passo a passo:
portanto
Como
, esperamos duas raízes complexas conjugadas.
Passo 4
Aplicando a fórmula quadrática:
Simplificando:
Usando
, obtemos
Dividindo numerador e denominador:
Passo 5
Verificação rápida (substituição) para confirmar: testar
na equação original.
Calcular :
Calcular
somando tudo:
Funciona; logo
é raiz. Pelo conjugado,
também é raiz.