Determine a solução das equações seguintes considerando x \in C:
x^{2}-4 x+8=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as soluções da equação quadrática \,x^{2}-4x+8=0\, assumindo que x\in\mathbb{C}.
Informações dadas (peguei diretamente do enunciado):
  • Coeficiente a (do termo x^2): a=1.
  • Coeficiente b (do termo x): b=-4.
  • Termo independente c: c=8.
O que é pedido:
  • Determinar todos os valores de x (complexos) que satisfazem \,x^{2}-4x+8=0.

Passo 2

Ferramenta que vamos usar: fórmula quadrática (ou fórmula de Bhaskara). Vou explicar o que é e de onde vem, de modo que você consiga aplicá-la na prova sem decorar cegamente.
A fórmula quadrática resolve equações do tipo \,ax^{2}+bx+c=0\, e dá as raízes por
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Explicando cada símbolo:
  • a,b,c são os coeficientes da equação quadrática.
  • O termo \Delta=b^{2}-4ac chama-se discriminante; ele indica a natureza das raízes:
    • se \Delta>0: duas raízes reais e distintas;
    • se \Delta=0: uma raiz real dupla (duas iguais);
    • se \Delta<0: duas raízes complexas conjugadas.
  • Quando \Delta<0 usamos a unidade imaginária i definida por i^{2}=-1; assim \sqrt{-d}=i\sqrt{d} para d>0.
Rápida derivação (completar o quadrado) para lembrar de onde vem a fórmula:
Partindo de \,ax^{2}+bx+c=0\, com a\neq0, divide-se por a:
x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0.
Move \frac{c}{a} para o outro lado e completa-se o quadrado:
x^{2}+\frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}, \qquad x^{2}+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^{2} = \left(\frac{b}{2a}\right)^{2}-\frac{c}{a}.
Isto dá
\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2} = \frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}.
Extraindo raiz e isolando x obtém-se
x = -\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
que é a fórmula acima.

Passo 3

Calcular o discriminante para os coeficientes dados:
\Delta = b^{2}-4ac = (-4)^{2}-4\cdot1\cdot8.
Fazendo as contas passo a passo:
(-4)^{2}=16, \qquad 4\cdot1\cdot8=32,
portanto
\Delta = 16-32 = -16.
Como \Delta=-16<0, esperamos duas raízes complexas conjugadas.

Passo 4

Aplicando a fórmula quadrática:
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-4)\pm\sqrt{-16}}{2\cdot1}.
Simplificando:
x=\frac{4\pm\sqrt{-16}}{2}.
Usando \sqrt{-16}=\sqrt{16}\sqrt{-1}=4i, obtemos
x=\frac{4\pm 4i}{2}.
Dividindo numerador e denominador:
x=2\pm 2i.

Passo 5

Verificação rápida (substituição) para confirmar: testar x=2+2i na equação original.
Calcular (2+2i)^{2}-4(2+2i)+8:
(2+2i)^{2}=4+8i+4i^{2}=4+8i-4=8i,
-4(2+2i)=-8-8i,
somando tudo:
8i+(-8-8i)+8 = (8-8)+ (8i-8i)=0.
Funciona; logo 2+2i é raiz. Pelo conjugado, 2-2i também é raiz.

Resposta

x=2+2i
x=2-2i

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