Represente os seguintes números no plano complexo.
\mathbf{C = 5 + j 2}

Passo 1

O enunciado dá o número complexo
C = 5 + j\,2.
O que se pede: representar esse número no plano complexo (plano de Argand). Informações relevantes fornecidas:
  • parte real igual a 5;
  • parte imaginária igual a 2.

Passo 2

O que significa “representar no plano complexo”. Todo número complexo pode ser escrito como
z = x + j\,y,
onde:
  • x é a parte real (um número real);
  • y é a parte imaginária (um número real).
    No plano complexo se associa a cada z o ponto de coordenadas cartesianas (x,y): a coordenada horizontal é a parte real e a coordenada vertical é a parte imaginária. Observação: a letra j aqui é a unidade imaginária (em engenharia usa-se j; em matemática costuma-se i), ou seja j^2 = -1.

Passo 3

Extrair as coordenadas do número dado. Comparando
C = 5 + j\,2
com z = x + j\,y, temos
x = 5,\qquad y = 2.
Logo, no plano complexo o ponto correspondente é o par de coordenadas (5,\,2).

Passo 4

Passo-a-passo para desenhar (se for fazer à mão na prova):
  1. desenhar um sistema de eixos cartesianos: eixo real horizontal (marcar 0,1,2,3,4,5) e eixo imaginário vertical (marcar 0,1,2);
  2. a partir da origem ir 5 unidades para a direita (porque x=5);
  3. a partir daí subir 2 unidades (porque y=2);
  4. marcar o ponto e escrever C ao lado. Esse ponto é a representação de C.

Passo 5

Além da posição cartesiana, é comum dar a forma polar (módulo e argumento). Primeiro o módulo (distância à origem):
|C|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{5^{2}+2^{2}}=\sqrt{25+4}=\sqrt{29}\approx 5,385.
Explicação: usa-se o teorema de Pitágoras no triângulo formado pela projeção do ponto sobre os eixos.

Passo 6

Agora o argumento (ângulo entre o eixo real positivo e o vetor até o ponto). Como x>0 e y>0, o ponto está no primeiro quadrante e vale
\theta=\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)=\arctan\!\left(\frac{2}{5}\right)\approx 0,3805\\ \text{rad}\approx 21,80^\circ.
Explicação: o ângulo é o do triângulo retângulo formado; para pontos no primeiro quadrante basta usar \arctan(y/x).

Passo 7

Formas equivalentes do número:
  • forma cartesiana (já dada): C=5+j\,2;
  • forma polar exata: C= \sqrt{29}\big(\cos(\arctan(2/5))+j\sin(\arctan(2/5))\big);
  • forma polar numérica aproximada: C\approx 5,385\big(\cos 0,3805 + j\sin 0,3805\big);
  • forma exponencial: C\approx 5,385\,e^{j\,0,3805}.

Resposta

C \longleftrightarrow (5,\,2)
|C|=\sqrt{29}\approx 5,385
\arg\text{(C)}=\arctan\!\left(\dfrac{2}{5}\right)\approx 0,3805\\ \text{rad}\approx 21,80^\circ
C=\sqrt{29}\big(\cos(\arctan(2/5))+j\sin(\arctan(2/5))\big)\approx 5,385\,e^{j\,0,3805}

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