Represente os seguintes números no plano complexo.
Passo 1
O enunciado dá o número complexo
O que se pede: representar esse número no plano complexo (plano de Argand). Informações relevantes fornecidas:
- parte real igual a
; - parte imaginária igual a
.
Passo 2
O que significa “representar no plano complexo”. Todo número complexo pode ser escrito como
onde:
-
é a parte real (um número real); -
é a parte imaginária (um número real).
No plano complexo se associa a cadao ponto de coordenadas cartesianas : a coordenada horizontal é a parte real e a coordenada vertical é a parte imaginária. Observação: a letra aqui é a unidade imaginária (em engenharia usa-se ; em matemática costuma-se ), ou seja .
Passo 3
Extrair as coordenadas do número dado. Comparando
com
, temos
Logo, no plano complexo o ponto correspondente é o par de coordenadas
.
Passo 4
Passo-a-passo para desenhar (se for fazer à mão na prova):
- desenhar um sistema de eixos cartesianos: eixo real horizontal (marcar
) e eixo imaginário vertical (marcar ); - a partir da origem ir
unidades para a direita (porque ); - a partir daí subir
unidades (porque ); - marcar o ponto e escrever
ao lado. Esse ponto é a representação de .
Passo 5
Além da posição cartesiana, é comum dar a forma polar (módulo e argumento). Primeiro o módulo (distância à origem):
Explicação: usa-se o teorema de Pitágoras no triângulo formado pela projeção do ponto sobre os eixos.
Passo 6
Agora o argumento (ângulo entre o eixo real positivo e o vetor até o ponto). Como
e
, o ponto está no primeiro quadrante e vale
Explicação: o ângulo é o do triângulo retângulo formado; para pontos no primeiro quadrante basta usar
.
Passo 7
Formas equivalentes do número:
- forma cartesiana (já dada):
; - forma polar exata:
; - forma polar numérica aproximada:
; - forma exponencial:
.