Em uma reprografia 20% de todas as cópias apresentam falhas. Seja X o número de cópias que apresentam falhas entre 15 cópias selecionadas aleatoriamente. Determine:
A probabilidade de exatamente 8 cópias com falhas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma situação onde 20% das cópias têm falhas. Precisamos descobrir a probabilidade de, ao selecionar 15 cópias aleatoriamente, exatamente 8 delas apresentarem falhas. Para resolver isso, vamos usar a Distribuição Binomial, que é ótima para calcular probabilidades de eventos que têm dois resultados possíveis (como sucesso ou falha) em uma quantidade fixa de tentativas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da Distribuição Binomial. Ela é dada por:
P(X = k) = binomnk times p^k times (1 - p)^n - k
Onde:
  • $ P(X = k) $ é a probabilidade de ter exatamente $ k $ sucessos;
  • $ \binom{n}{k} $ é o número de combinações de $ n $ itens tomados $ k $ a $ k $;
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa;
  • $ n $ é o número total de tentativas.

Passo 3

Vamos identificar os valores para a nossa questão:
  • Número total de cópias ($ n $) = 15
  • Número de cópias com falhas desejado ($ k $) = 8
  • Probabilidade de uma cópia ter falha ($ p $) = 20% = 0,2

Passo 4

Agora, vamos calcular o número de combinações $ \binom{15}{8} $. Essa expressão calcula de quantas maneiras podemos escolher 8 cópias com falhas dentre as 15. A fórmula para combinações é:
binom158
Então,
binomnk = n!k!(n - k)!

Passo 5

Em seguida, vamos calcular $ p^k $, que é $ 0,2^8 $:
p^k

Passo 6

Agora, calculamos $ (1 - p)^{n - k} $, que é $ 0,8^7 $:
(1 - p)^n - k

Passo 7

Finalmente, juntamos tudo na fórmula da Distribuição Binomial:
P(X = 8) = 6435 times 0,000256 times 0,2097152 approx 0,345

Resposta

A probabilidade de exatamente 8 cópias apresentarem falhas é aproximadamente 34,5%.

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