Em uma reprografia 20% de todas as cópias apresentam falhas. Seja X o número de cópias que apresentam falhas entre 15 cópias selecionadas aleatoriamente. Determine:
A probabilidade de exatamente 8 cópias com falhas.
A probabilidade de exatamente 8 cópias com falhas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma situação onde 20% das cópias têm falhas. Precisamos descobrir a probabilidade de, ao selecionar 15 cópias aleatoriamente, exatamente 8 delas apresentarem falhas. Para resolver isso, vamos usar a Distribuição Binomial, que é ótima para calcular probabilidades de eventos que têm dois resultados possíveis (como sucesso ou falha) em uma quantidade fixa de tentativas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da Distribuição Binomial. Ela é dada por:
Onde:
- $ P(X = k) $ é a probabilidade de ter exatamente $ k $ sucessos;
- $ \binom{n}{k} $ é o número de combinações de $ n $ itens tomados $ k $ a $ k $;
- $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa;
- $ n $ é o número total de tentativas.
Passo 3
Vamos identificar os valores para a nossa questão:
- Número total de cópias ($ n $) = 15
- Número de cópias com falhas desejado ($ k $) = 8
- Probabilidade de uma cópia ter falha ($ p $) = 20% = 0,2
Passo 4
Agora, vamos calcular o número de combinações $ \binom{15}{8} $. Essa expressão calcula de quantas maneiras podemos escolher 8 cópias com falhas dentre as 15. A fórmula para combinações é:
Então,
Passo 5
Em seguida, vamos calcular $ p^k $, que é $ 0,2^8 $:
Passo 6
Agora, calculamos $ (1 - p)^{n - k} $, que é $ 0,8^7 $:
Passo 7
Finalmente, juntamos tudo na fórmula da Distribuição Binomial:
Resposta
A probabilidade de exatamente 8 cópias apresentarem falhas é aproximadamente 34,5%.