O número de pessoas que chegam para ser atendidas em um pronto-socorro pode ser modelado por um processo de Poisson com taxa de cinco por hora.
Qual é a probabilidade de exatamente três pessoas chegarem em certa hora?

Passo 1

Então, a gente tem um pronto-socorro onde o número de pessoas que chegam pra ser atendidas segue um processo de Poisson, com uma taxa de cinco pessoas por hora. A pergunta é: qual a probabilidade de exatamente três pessoas chegarem em uma hora específica? Vamos usar a fórmula da distribuição de Poisson pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da distribuição de Poisson. Ela nos dá a probabilidade de um certo número de eventos ocorrer em um intervalo fixo de tempo, quando esses eventos acontecem com uma taxa média conhecida e de forma independente.

Passo 3

A fórmula da distribuição de Poisson é:
P(k; lambda) = lambda^k e^-lambdak!
Onde:
- $ P(k; \lambda) $ é a probabilidade de exatamente $ k $ eventos ocorrerem.
- $ \lambda $ é a taxa média de eventos no intervalo de tempo.
- $ e $ é a base do logaritmo natural (aproximadamente 2.71828).
- $ k! $ é o fatorial de $ k $.

Passo 4

No nosso caso, a taxa média $ \lambda $ é 5 pessoas por hora, e queremos a probabilidade de exatamente $ k = 3 $ pessoas chegarem em uma hora.

Passo 5

Vamos substituir os valores na fórmula:
P(3; 5) = 5^3 e^-53!

Passo 6

Calculando passo a passo:
  • Primeiro, $ 5^{3} = 125 $.
  • Depois, $ e^{-5} $ é aproximadamente 0,006737947.
  • O fatorial de 3, $ 3! $, é $ 3 \times 2 \times 1 = 6 $.

Passo 7

Agora, substituímos esses valores:
P(3; 5) = 125 times 0,0067379476

Passo 8

Multiplicando 125 por 0,006737947 dá aproximadamente 0,842243.

Passo 9

Dividindo isso por 6:
0,8422436 approx 0,140374

Resposta

A probabilidade de exatamente três pessoas chegarem em uma certa hora é aproximadamente 0,140 ou 14,0 %.

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