O número de pessoas que chegam para ser atendidas em um pronto-socorro pode ser modelado por um processo de Poisson com taxa de cinco por hora.
Qual é a probabilidade de exatamente três pessoas chegarem em certa hora?
Qual é a probabilidade de exatamente três pessoas chegarem em certa hora?
Passo 1
Então, a gente tem um pronto-socorro onde o número de pessoas que chegam pra ser atendidas segue um processo de Poisson, com uma taxa de cinco pessoas por hora. A pergunta é: qual a probabilidade de exatamente três pessoas chegarem em uma hora específica? Vamos usar a fórmula da distribuição de Poisson pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da distribuição de Poisson. Ela nos dá a probabilidade de um certo número de eventos ocorrer em um intervalo fixo de tempo, quando esses eventos acontecem com uma taxa média conhecida e de forma independente.
Passo 3
A fórmula da distribuição de Poisson é:
Onde:
- $ P(k; \lambda) $ é a probabilidade de exatamente $ k $ eventos ocorrerem.
- $ \lambda $ é a taxa média de eventos no intervalo de tempo.
- $ e $ é a base do logaritmo natural (aproximadamente 2.71828).
- $ k! $ é o fatorial de $ k $.
Passo 4
No nosso caso, a taxa média $ \lambda $ é 5 pessoas por hora, e queremos a probabilidade de exatamente $ k = 3 $ pessoas chegarem em uma hora.
Passo 5
Vamos substituir os valores na fórmula:
Passo 6
Calculando passo a passo:
- Primeiro, $ 5^{3} = 125 $.
- Depois, $ e^{-5} $ é aproximadamente 0,006737947.
- O fatorial de 3, $ 3! $, é $ 3 \times 2 \times 1 = 6 $.
Passo 7
Agora, substituímos esses valores:
Passo 8
Multiplicando 125 por 0,006737947 dá aproximadamente 0,842243.
Passo 9
Dividindo isso por 6:
Resposta
A probabilidade de exatamente três pessoas chegarem em uma certa hora é aproximadamente 0,140 ou 14,0 %.