Resalver, por serie de taylor
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e as condições iniciais. Escreverei claramente o que é pedido e os dados:
- Equação diferencial:
- Condições iniciais:
O pedido é: resolver por série de Taylor (ou série de potências) centrada em
. Ou seja, encontrar a solução
como uma série em potências de
, usando as condições iniciais para determinar os coeficientes.
Passo 2
Ideia do método (passo a passo didático, sem pular etapas):
- Supor que a solução é dada por uma série de potências centrada em
:
onde os
são coeficientes reais a determinar.
- Calcular as derivadas da série e substituir na equação diferencial.
- Igualar coeficientes de potências iguais de
para obter uma relação de recorrência entre os . - Usar as condições iniciais para fixar
e e então usar a recorrência para calcular os demais .
Agora vou mostrar cada uma dessas etapas explicitamente.
Passo 3
Calcular
e
a partir da série assumida:
Para alinhar todas as séries com a mesma potência
(índice começando em
), fazemos a mudança de índice
na série de
,
para o termo com
etc. Escrevendo tudo em potências
:
- Para
: com obtemos
- Para
: multiplicando a série de por ,
Para efeitos de comparação com potências
começando em
podemos entender
e escrever conceitualmente
- Para
:
ou novamente, conceitualmente com
,
Passo 4
Substituir as três séries na equação diferencial
e igualar coeficientes de
. Obtemos, para todo
,
onde usamos
(porque a série original começa em
). Reorganizando temos a relação de recorrência útil:
com
. Essa fórmula permite calcular
a partir de coeficientes de ordens menores.
Passo 5
Usar as condições iniciais para fixar
e
. Lembrem-se:
Agora aplicamos a recorrência para calcular os primeiros coeficientes passo a passo (faço com frações exatas para não precisar de calculadora):
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Logo
, então
- Para
:
logo
- Para
:
Assim
e
- Para
:
Calcule os termos racionais:
. Somando
obtém-se
. Logo
- Para
:
Calculando:
e
. Soma:
. Então
- Para
(mais um termo, para ficar mais confortável):
Calcule
. Assim
Esses cálculos dão uma aproximação exata (racional) dos coeficientes iniciais.
Passo 6
Interpretando o que foi encontrado: podemos escrever a solução como série de potências em torno de
. Reunindo os coeficientes calculados,
Substituindo os valores exatos que calculamos:
Dica prática para a prova: fixe
e
com as condições iniciais, derive a recorrência e calcule apenas até a ordem necessária pedida (normalmente 4º ou 6º termo). Sempre mantenha frações exatas; se for pedido valor numérico, aí sim arredonde no final.