Resalver, por serie de taylor
y^{\prime \prime}-2 x y+x^{2} y=0 \quad y(0)=1 \quad y^{\prime}(0)=41

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e as condições iniciais. Escreverei claramente o que é pedido e os dados:
  • Equação diferencial: y'' - 2x\,y + x^2 y = 0.
  • Condições iniciais: y(0)=1,\qquad y'(0)=41.
O pedido é: resolver por série de Taylor (ou série de potências) centrada em \,0. Ou seja, encontrar a solução y(x) como uma série em potências de x, usando as condições iniciais para determinar os coeficientes.

Passo 2

Ideia do método (passo a passo didático, sem pular etapas):
  • Supor que a solução é dada por uma série de potências centrada em 0:
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n,
onde os a_n são coeficientes reais a determinar.
  • Calcular as derivadas da série e substituir na equação diferencial.
  • Igualar coeficientes de potências iguais de x para obter uma relação de recorrência entre os a_n.
  • Usar as condições iniciais para fixar a_0 e a_1 e então usar a recorrência para calcular os demais a_n.
Agora vou mostrar cada uma dessas etapas explicitamente.

Passo 3

Calcular y' e y'' a partir da série assumida:
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n,
y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1},
y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_n x^{n-2}.
Para alinhar todas as séries com a mesma potência x^k (índice começando em k=0), fazemos a mudança de índice k=n-2 na série de y'', k=n+1 para o termo com x y etc. Escrevendo tudo em potências x^k:
  • Para y'': com k=n-2 obtemos
y''(x)=\sum_{k=0}^{\infty} (k+2)(k+1)\,a_{k+2}\,x^k.
  • Para -2x\,y: multiplicando a série de y por -2x,
-2x\,y=-2\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+1} = -2\sum_{k=1}^{\infty} a_{k-1} x^k.
Para efeitos de comparação com potências x^k começando em k=0 podemos entender a_{-1}=0 e escrever conceitualmente
-2x\,y=-2\sum_{k=0}^{\infty} a_{k-1} x^k \quad (\text{com }a_{-1}=0).
  • Para x^2 y:
x^2 y = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+2} = \sum_{k=2}^{\infty} a_{k-2} x^{k},
ou novamente, conceitualmente com a_{-2}=a_{-1}=0,
x^2 y = \sum_{k=0}^{\infty} a_{k-2} x^k.

Passo 4

Substituir as três séries na equação diferencial \,y''-2x y + x^2 y = 0 e igualar coeficientes de x^k. Obtemos, para todo k\ge0,
(k+2)(k+1)\,a_{k+2} \;-\; 2\,a_{k-1} \;+\; a_{k-2} \;=\;0,
onde usamos a_{-1}=a_{-2}=0 (porque a série original começa em n=0). Reorganizando temos a relação de recorrência útil:
\boxed{ \;a_{k+2} \;=\; \dfrac{2\,a_{k-1} - a_{k-2}}{(k+2)(k+1)}\; },\qquad k\ge0,
com a_{-1}=a_{-2}=0. Essa fórmula permite calcular a_{k+2} a partir de coeficientes de ordens menores.

Passo 5

Usar as condições iniciais para fixar a_0 e a_1. Lembrem-se:
y(0)=a_0=1,\qquad y'(0)=a_1=41.
Agora aplicamos a recorrência para calcular os primeiros coeficientes passo a passo (faço com frações exatas para não precisar de calculadora):
  • Para k=0:
(0+2)(0+1)a_2 - 2a_{-1} + a_{-2}=0 \;\Rightarrow\; 2a_2 - 0 + 0 =0 \;\Rightarrow\; a_2=0.
  • Para k=1:
(3)(2)a_3 - 2a_0 + a_{-1}=0 \;\Rightarrow\; 6a_3 - 2\cdot 1 +0=0 \;\Rightarrow\; a_3=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}.
  • Para k=2:
(4)(3)a_4 - 2a_1 + a_0=0 \;\Rightarrow\; 12a_4 - 2\cdot 41 + 1=0.
Logo 12a_4 = 82 -1 =81, então
a_4=\dfrac{81}{12}=\dfrac{27}{4}.
  • Para k=3:
(5)(4)a_5 - 2a_2 + a_1=0 \;\Rightarrow\; 20a_5 - 2\cdot 0 + 41 = 0,
logo
a_5 = -\dfrac{41}{20}.
  • Para k=4:
(6)(5)a_6 - 2a_3 + a_2=0 \;\Rightarrow\; 30a_6 - 2\cdot \dfrac{1}{3} + 0 =0.
Assim 30a_6 = \dfrac{2}{3} e
a_6 = \dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{1}{30} = \dfrac{1}{45}.
  • Para k=5:
(7)(6)a_7 - 2a_4 + a_3=0 \;\Rightarrow\; 42a_7 - 2\cdot \dfrac{27}{4} + \dfrac{1}{3} =0.
Calcule os termos racionais: -2\cdot \dfrac{27}{4} = -\dfrac{27}{2}. Somando +\dfrac{1}{3} obtém-se -\dfrac{27}{2} + \dfrac{1}{3} = -\dfrac{81}{6} + \dfrac{2}{6} = -\dfrac{79}{6}. Logo
42a_7 = \dfrac{79}{6} \quad\Rightarrow\quad a_7 = \dfrac{79}{252}.
  • Para k=6:
(8)(7)a_8 - 2a_5 + a_4=0 \;\Rightarrow\; 56a_8 - 2\cdot\left(-\dfrac{41}{20}\right) + \dfrac{27}{4} =0.
Calculando: -2\cdot(-41/20)=41/10 e \dfrac{27}{4}=\dfrac{135}{20}. Soma: \dfrac{41}{10}+\dfrac{135}{20}=\dfrac{82}{20}+\dfrac{135}{20}=\dfrac{217}{20}. Então
56a_8 + \dfrac{217}{20} = 0 \quad\Rightarrow\quad a_8 = -\dfrac{217}{1120} = -\dfrac{31}{160}.
  • Para k=7 (mais um termo, para ficar mais confortável):
(9)(8)a_9 - 2a_6 + a_5=0 \;\Rightarrow\; 72a_9 - 2\cdot \dfrac{1}{45} + \left(-\dfrac{41}{20}\right)=0.
Calcule -2/45 - 41/20 = -\dfrac{8}{180} - \dfrac{369}{180} = -\dfrac{377}{180}. Assim
72a_9 = \dfrac{377}{180} \quad\Rightarrow\quad a_9 = \dfrac{377}{12960}.
Esses cálculos dão uma aproximação exata (racional) dos coeficientes iniciais.

Passo 6

Interpretando o que foi encontrado: podemos escrever a solução como série de potências em torno de 0. Reunindo os coeficientes calculados,
y(x)=a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + a_4 x^4 + a_5 x^5 + a_6 x^6 + a_7 x^7 + a_8 x^8 + a_9 x^9 + \cdots
Substituindo os valores exatos que calculamos:
y(x)=1 + 41x + 0\cdot x^2 + \dfrac{1}{3}x^3 + \dfrac{27}{4}x^4 - \dfrac{41}{20}x^5 + \dfrac{1}{45}x^6 + \dfrac{79}{252}x^7 - \dfrac{31}{160}x^8 + \dfrac{377}{12960}x^9 + \cdots
Dica prática para a prova: fixe a_0 e a_1 com as condições iniciais, derive a recorrência e calcule apenas até a ordem necessária pedida (normalmente 4º ou 6º termo). Sempre mantenha frações exatas; se for pedido valor numérico, aí sim arredonde no final.

Resposta

y(x)=1+41x+\dfrac{1}{3}x^{3}+\dfrac{27}{4}x^{4}-\dfrac{41}{20}x^{5}+\dfrac{1}{45}x^{6}+\dfrac{79}{252}x^{7}-\dfrac{31}{160}x^{8}+\dfrac{377}{12960}x^{9}+\cdots

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