Resolua por T.L
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial e as condições iniciais. Vou listar claramente o que foi dado (sem resolver ainda):
- Equação:
. - Condições iniciais:
e .
O que se pede: encontrarpara .
Passo 2
Aplicar a transformada de Laplace (T.L.) às duas mãos da equação e usar as fórmulas básicas. Primeiro, defino
.
Fórmula importante (T.L. de derivadas):
Usando as condições iniciais
,
, a transformada da parte esquerda fica
Agora a transformada do lado direito
. Há uma propriedade para o degrau unitário deslocado: para qualquer função
,
Aplicando com
e
, e lembrando que
(periodicidade
),
Portanto a equação transformada é
Passo 3
Isolar
:
Vou inverter a transformada termo a termo. O primeiro termo tem inversa conhecida:
O segundo termo é da forma
com
Vou achar a inversa
e então usar o teorema do deslocamento no tempo para obter a parte com o degrau.
Passo 4
Calcular
. Faço frações parciais:
Procuramos tais que
Procuramos
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Comparando coeficientes:
Da primeira
. Substituindo na segunda:
,
.
Assim
Agora inverto cada termo. Lembrando que
Portanto
Passo 5
Usar o teorema do deslocamento no tempo para o fator
: se
então
Aplicando com
e o
encontrado, o segundo termo em
é
Agora uso periodicidade das funções seno:
e
.
Logo a parte deslocada simplifica para
Logo a parte deslocada simplifica para
Somando com a solução homogênea obtida antes, a solução completa é
Passo 6
Verificação rápida das condições iniciais:
- Para
, e . Então e dá . Condições satisfeitas. - A solução apresenta a contribuição da forçante apenas a partir de
, como exigido pelo fator .