EEAR-SP Se
é uma função, seu domínio é
}.
A)
e
B)
e
C)
e
D)
e
A)
B)
C)
D)
Passo 1
Vou colocar com clareza o que o enunciado dá e o que pede.
- A função dada é
. - O enunciado pede o domínio
desta função, ou seja, todos os valores reais de para os quais a expressão faz sentido. - As alternativas oferecidas são:
A)e
B)e
C)e
D)e
Passo 2
Identificar as possíveis situações que tornam a expressão inválida. Toda função racional ou com raiz no denominador tem três tipos de problema básicos:
- divisão por zero (não é permitido),
- radicando negativo na raiz quadrada (não existe raiz real de número negativo),
- e, mais especificamente, raiz igual a zero quando ela aparece no denominador (também não é permitido).
Vamos aplicar isso ao nosso
.
Passo 3
Analisar o primeiro termo
.
- Qualquer fração tem denominador não nulo. Aqui o denominador é
. - Logo devemos ter
, ou seja .
Explicação curta e didática: dividir por zero não é definido; por exemplo
não faz sentido. Assim excluímos
.
Passo 4
Analisar o segundo termo
.
- Primeiro: a raiz quadrada
só é real se o radicando for não negativo:
portanto é necessário, isto é .
Isso vem da definição de raiz quadrada real: não existeno conjunto dos reais. - Segundo: como essa raiz está no denominador, não podemos ter
, porque novamente daria divisão por zero. acontece quando , isto é quando . - Combinando os dois pontos: o requisito
exclui valores menores que , e a exigência de não zerar o denominador exclui também. Portanto o conjunto permitido por essa parte é .
Passo 5
Combinar as restrições das duas parcelas:
- Da primeira parcela:
. - Da segunda parcela:
.
Agora fazemos a interseção: todos os
maiores que
, exceto o ponto
(note que
, então de fato precisamos excluir
da meia-retas).
Assim o domínio é
, que também pode ser escrito como
.
Passo 6
Comparar com as alternativas dadas:
- A) diz
e — muito restritivo (não corresponde). - B) diz
e — inclui valores menores que , portanto errado. - C) diz
e — contradiz a necessidade (errado). - D) diz
e — coincide exatamente com o que encontramos.
Portanto a alternativa correta é a D.
Resposta
D)
e