EEAR-SP Se \mathrm{f}(\mathrm{x})=(\mathrm{x}-1) /(\mathrm{x}+1)+3 \mathrm{x} / \sqrt{ }(\mathrm{x}+4) é uma função, seu domínio é \mathrm{D}=\{\mathrm{x} \in \mathrm{R} \mid \_\_\_\_ }.
A) x>4 e x \neq 1
B) x<4 e x \neq 1
C) x<-4 e x \neq-1
D) x>-4 e x \neq-1

Passo 1

Vou colocar com clareza o que o enunciado dá e o que pede.
  • A função dada é f(x)=\dfrac{x-1}{x+1}+\dfrac{3x}{\sqrt{x+4}}.
  • O enunciado pede o domínio D=\{x\in\mathbb{R}\mid\_\_\_\_\} desta função, ou seja, todos os valores reais de x para os quais a expressão faz sentido.
  • As alternativas oferecidas são:
    A) x>4 e x\neq 1
    B) x<4 e x\neq 1
    C) x<-4 e x\neq -1
    D) x>-4 e x\neq -1

Passo 2

Identificar as possíveis situações que tornam a expressão inválida. Toda função racional ou com raiz no denominador tem três tipos de problema básicos:
  • divisão por zero (não é permitido),
  • radicando negativo na raiz quadrada (não existe raiz real de número negativo),
  • e, mais especificamente, raiz igual a zero quando ela aparece no denominador (também não é permitido).
Vamos aplicar isso ao nosso f(x).

Passo 3

Analisar o primeiro termo \dfrac{x-1}{x+1}.
  • Qualquer fração tem denominador não nulo. Aqui o denominador é x+1.
  • Logo devemos ter x+1\neq 0, ou seja x\neq -1.
Explicação curta e didática: dividir por zero não é definido; por exemplo \dfrac{1}{0} não faz sentido. Assim excluímos x=-1.

Passo 4

Analisar o segundo termo \dfrac{3x}{\sqrt{x+4}}.
  • Primeiro: a raiz quadrada \sqrt{x+4} só é real se o radicando for não negativo:
    portanto é necessário x+4\ge 0, isto é x\ge -4.
    Isso vem da definição de raiz quadrada real: não existe \sqrt{\text{negativo}} no conjunto dos reais.
  • Segundo: como essa raiz está no denominador, não podemos ter \sqrt{x+4}=0, porque novamente daria divisão por zero. \sqrt{x+4}=0 acontece quando x+4=0, isto é quando x=-4.
  • Combinando os dois pontos: o requisito x\ge -4 exclui valores menores que -4, e a exigência de não zerar o denominador exclui x=-4 também. Portanto o conjunto permitido por essa parte é x>-4.

Passo 5

Combinar as restrições das duas parcelas:
  • Da primeira parcela: x\neq -1.
  • Da segunda parcela: x>-4.
Agora fazemos a interseção: todos os x maiores que -4, exceto o ponto x=-1 (note que -1>-4, então de fato precisamos excluir -1 da meia-retas).
Assim o domínio é \{x\in\mathbb{R}\mid x>-4\\ \text{e}\\ x\neq -1\}, que também pode ser escrito como ( -4,\infty)\setminus\{-1\}.

Passo 6

Comparar com as alternativas dadas:
  • A) diz x>4 e x\neq 1 — muito restritivo (não corresponde).
  • B) diz x<4 e x\neq 1 — inclui valores menores que -4, portanto errado.
  • C) diz x<-4 e x\neq -1 — contradiz a necessidade x>-4 (errado).
  • D) diz x>-4 e x\neq -1 — coincide exatamente com o que encontramos.
Portanto a alternativa correta é a D.

Resposta

D) x>-4 e x\neq -1

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