Um reservatório aberto, cuja cota de fundo é 475 em relação ao nível do mar, possui 3 m de altura de lâmina de água. A esse reservatório se encontra conectado uma tubulação que passa por um ponto intermediário a cota 450 e termina em um registro, na cota é 457. Determine:
a. a pressão medida no ponto intermediário e no registro; \mathrm{Pi}=28.000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m} 2, \mathrm{Pi}=274,6 \mathrm{kPa}, \mathrm{Pi}=21.000 \mathrm{kgf} / \mathrm{m} 2, \mathrm{Pi}=206 \mathrm{kPa} ;
b. o nível do reservatório caso se deseja a pressão mínima no registro de 3 \mathrm{kgf} / \mathrm{cm}^{2}; \mathrm{h}=12 \mathrm{~m}.
c. no caso de se manter o nível inicial e fechar o reservatório mantendo ar pressurizado na superfície, qual deverá ser a pressão desse ar. Par =9.000 \mathrm{kgf} / \mathrm{m}^{2}, Par =88,3 \mathrm{kPa};

Passo 1

O enunciado pede três coisas e dá as seguintes informações:
  • A cota do fundo do reservatório é \,475.
  • A lâmina de água tem altura \,3\\ \text{m}.
  • Há um ponto intermediário na cota \,450.
  • Há um registro na cota \,457.
    As perguntas são:
    a) Determinar a pressão medida no ponto intermediário (cota \,450) e no registro (cota \,457).
    b) Determinar o nível do reservatório (altura da lâmina) caso se deseje que a pressão mínima no registro seja \,3\\ \text{kgf}/\text{cm}^2.
    c) Mantendo o nível inicial ( 3\\ \text{m}) e fechando o reservatório, qual deverá ser a pressão do ar pressurizado sobre a superfície para que se alcance a pressão de \,3\\ \text{kgf}/\text{cm}^2 no registro?
Dados que serão usados (valores padrão):
\rho_{\text{água}}=1000\\ \text{kg}/\text{m}^3,\qquad g=9{,}81\\ \text{m}/\text{s}^2.á

Passo 2

Breve aula: como a pressão varia com a profundidade (hidrostática).
A fórmula básica da hidrostática é
p = p_{\text{superf}} + \rho g h,
onde:
  • p é a pressão no ponto considerado (Pa);
  • p_{\text{superf}} é a pressão na superfície do líquido (Pa). Se a superfície estiver em contato com a atmosfera e não estiver pressurizada, p_{\text{superf}} é a pressão atmosférica; em problemas de pressão relativa/gauge normalmente usamos p_{\text{superf}}=0 (pressão manométrica).
  • \rho é a massa específica do líquido ( \text{kg}/\text{m}^3);
  • g é a aceleração da gravidade ( \text{m}/\text{s}^2);
  • h é a profundidade vertical medida da superfície do líquido até o ponto (m).
Observações de unidades e convênios úteis para prova:
  • Em unidades “kgf/m^2” (usadas em muitos exercícios), a relação fica simplesmente p_{\text{(kgf/m}^2)}=\rho_{\text{(kgf/m}^3)}\cdot h porque o fator g está “incorporado” quando se usa kgf. Para água \rho=1000\\ \text{kgf}/\text{m}^3.
  • Para converter \text{kgf}/\text{m}^2 em Pa multiplica-se por g=9{,}81: 1\\ \text{kgf}/\text{m}^2 = 9{,}81\\ \text{Pa}.
  • Para converter \text{kgf}/\text{cm}^2 em \text{kgf}/\text{m}^2 multiplica-se por 10{,}000 (pois 1\\ \text{m}^2 = 10{,}000\\ \text{cm}^2).

Passo 3

Calcular a cota da superfície livre do reservatório (nível atual):
\text{cota\_superf} = 475 + 3 = 478.
Portanto a superfície da água está na cota \,478.

Passo 4

Parte (a) — pressão no ponto intermediário (cota \,450).
Primeiro, a profundidade desse ponto em relação à superfície é
h_{\text{int}} = 478 - 450 = 28\\ \text{m}.
Usando a fórmula hidrostática (considerando pressão manométrica, isto é, toma-se p_{\text{superf}}=0):
p_{\text{int}} = \rho g h_{\text{int}} = 1000\cdot 9{,}81 \cdot 28 = 274680\\ \text{Pa}.
Convertendo para kPa:
p_{\text{int}} = 274{,}68\\ \text{kPa}\\ (\text{aprox. }274{,}6\\ \text{kPa}).
Em unidades \text{kgf}/\text{m}^2 (usando \rho=1000\\ \text{kgf}/\text{m}^3):
p_{\text{int}} = 1000\cdot 28 = 28000\\ \text{kgf}/\text{m}^2.

Passo 5

Parte (a) — pressão no registro (cota \,457).
Profundidade relativa à superfície:
h_{\text{reg}} = 478 - 457 = 21\\ \text{m}.
Pressão:
p_{\text{reg}} = 1000\cdot 9{,}81 \cdot 21 = 206010\\ \text{Pa}.
Convertendo para kPa:
p_{\text{reg}} = 206{,}01\\ \text{kPa}\\ (\text{aprox. }206{,}0\\ \text{kPa}).
Em \text{kgf}/\text{m}^2:
p_{\text{reg}} = 1000\cdot 21 = 21000\\ \text{kgf}/\text{m}^2.

Passo 6

Parte (b) — determinar a altura da lâmina para que a pressão mínima no registro seja \,3\\ \text{kgf}/\text{cm}^2.
Primeiro converte-se a pressão desejada para \text{kgf}/\text{m}^2:
3\\ \text{kgf}/\text{cm}^2 = 3\cdot 10000 = 30000\\ \text{kgf}/\text{m}^2.
Para que a pressão manométrica no registro seja esse valor, a diferença de cota entre superfície e registro deve satisfazer (em unidades kgf):
\rho\cdot h_{\text{req}} = 30000 \quad\Rightarrow\quad h_{\text{req}}=\frac{30000}{1000}=30\\ \text{m}.
Logo a superfície deve estar \,30\\ \text{m} acima da cota do registro. Como o registro está em \,457,
\text{cota\_superf\_necessária} = 457 + 30 = 487.á
Como o fundo está em \,475, a lâmina de água necessária (altura do reservatório) é
\text{altura} = 487 - 475 = 12\\ \text{m}.

Passo 7

Parte (c) — mantendo o nível inicial ( 3\\ \text{m}, superfície em \,478) e fechando o reservatório, qual deverá ser a pressão do ar sobre a superfície para obter \,3\\ \text{kgf}/\text{cm}^2 no registro?
Agora a pressão no registro será a soma da pressão do ar na superfície (manométrica) mais a contribuição hidrostática da coluna de água entre superfície e registro:
em unidades \text{kgf}/\text{m}^2,
p_{\text{reg}} = p_{\text{ar}} + \rho\cdot h_{\text{reg}}.
Queremos p_{\text{reg}}=30000\\ \text{kgf}/\text{m}^2 e já temos \rho\cdot h_{\text{reg}}=1000\cdot 21=21000\\ \text{kgf}/\text{m}^2. Então
p_{\text{ar}} = 30000 - 21000 = 9000\\ \text{kgf}/\text{m}^2.
Convertendo para Pa e kPa:
p_{\text{ar}} = 9000\cdot 9{,}81 = 88290\\ \text{Pa} \approx 88{,}29\\ \text{kPa} \\ (\text{aprox. }88{,}3\\ \text{kPa}).

Resposta

a) Ponto intermediário (cota 450): 28000\\ \text{kgf}/\text{m}^2 = 274{,}6\\ \text{kPa}
a) Registro (cota 457): 21000\\ \text{kgf}/\text{m}^2 = 206{,}0\\ \text{kPa}
b) Altura da lâmina necessária: 12\\ \text{m}
c) Pressão do ar sobre a superfície (manométrica): 9000\\ \text{kgf}/\text{m}^2 = 88{,}3\\ \text{kPa}

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