Um trocador de calor de tubos concêntricos e correntes paralelas, água fria (cp = 3800 \mathrm{~J} / \mathrm{kg}.K0 entra pelo tubo interno a 20^{\circ} \mathrm{C} e uma vazão de 3000 \mathrm{~kg} / \mathrm{h}. O óleo quente ( \mathrm{cp}=1800 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} \cdot \mathrm{K} ) entra a 80^{\circ} \mathrm{C} e escoa a uma taxa de 2000 \mathrm{~kg} / \mathrm{h}. Sendo o coeficiente de transferência de calor, \mathrm{U}=200 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2 \circ} \mathrm{C} e a área de troca de 0,625 \mathrm{~m}^{2}, quais as temperaturas de saída da água e do óleo.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Água fria (entrando no tubo interno):
      • calor específico \,c_{p,c}=3800\\ \mathrm{J}\!/\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K},
      • temperatura de entrada \,T_{c,\text{in}}=20^\circ\mathrm{C},
      • vazão mássica \,\dot m_c=3000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{h}.
    • Óleo quente:
      • calor específico \,c_{p,h}=1800\\ \mathrm{J}\!/\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K},
      • temperatura de entrada \,T_{h,\text{in}}=80^\circ\mathrm{C},
      • vazão mássica \,\dot m_h=2000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{h}.
    • Trocador:
      • coeficiente global de transferência de calor \,U=200\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\!^\circ\mathrm{C},
      • área de troca \,A=0{,}625\\ \mathrm{m}^2.
  • O que o enunciado pede:
    • encontrar as temperaturas de saída da água e do óleo, ou seja \,T_{c,\text{out}} e \,T_{h,\text{out}}.

Passo 2

Escolha do método (explicando o porquê, de forma didática e sem formalismo chato).
  • Temos um trocador de calor paralelo com correntes paralelas; para calcular as temperaturas de saída é comum usar um método chamado “efetividade–NTU” (effectiveness–NTU).
  • Por que não usar o método LMTD (diferença logarítmica média de temperatura)? Porque o LMTD exige conhecer as temperaturas de saída para montar a diferença média — e aqui as saídas são justamente o que queremos achar. Já o método efetividade–NTU permite calcular diretamente a transferência de calor sem saber as saídas, usando as capacidades térmicas dos fluidos e a geometria (U e A).
  • Resumindo a ideia principal (sem fórmula mágica ainda): calcula-se quanto calor o trocador é capaz de transferir (função de U, A e das propriedades dos fluidos) e então esse calor determina as variações de temperatura dos fluidos via balanço de energia.

Passo 3

Converter vazões para unidades consistentes e definir as “taxas de capacidade térmica” (explicando o que é).
  • Primeiro converto as vazões de \mathrm{kg}/\mathrm{h} para \mathrm{kg}/\mathrm{s} (porque U e c_p estão em unidades por segundo): \dot m_c=\frac{3000}{3600}=\frac{5}{6}=0{,}833333\\ \mathrm{kg}/\mathrm{s}, \qquad \dot m_h=\frac{2000}{3600}=\frac{5}{9}=0{,}555556\\ \mathrm{kg}/\mathrm{s}.
  • Definição importante: a “taxa de capacidade térmica” de um fluido é C=\dot m\, c_p,que tem unidade \mathrm{W}/\mathrm{K} (porque \mathrm{kg}/\mathrm{s}\cdot\mathrm{J}/\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}=\mathrm{J}/\mathrm{s}\cdot\mathrm{K}=\mathrm{W}/\mathrm{K}). Ela diz quanto calor é preciso por unidade de temperatura para aquele fluido.
  • Calculo as capacidades térmicas: C_c=\dot m_c\, c_{p,c}=0{,}833333\cdot3800=3166{,}666666\\ \mathrm{W}/\mathrm{K},
C_h=\dot m_h\, c_{p,h}=0{,}555556\cdot1800=1000{,}0\\ \mathrm{W}/\mathrm{K}.

Passo 4

Identificar C_{\min}, C_{\max} e a razão de capacidades C_r (explicando a utilidade).
  • Das duas capacidades, a menor limita quanto calor pode ser trocado (o fluido com menor C aquece/esfria mais por unidade de calor). Então: C_{\min}=C_h=1000{,}0\\ \mathrm{W}/\mathrm{K},\qquad C_{\max}=C_c=3166{,}666666\\ \mathrm{W}/\mathrm{K}.
  • Defino a razão de capacidades: C_r=\frac{C_{\min}}{C_{\max}}=\frac{1000}{3166{,}666666}=\frac{6}{19}\approx0{,}315789.
  • Observação intuitiva: C_r<1 significa que o óleo (no caso) é o fluido que mais muda de temperatura por unidade de calor (ele tem menor capacidade térmica).

Passo 5

Calcular NTU (Número de Transferência de Calor) e explicar o que é.
  • O número NTU mede a eficácia da área disponível comparada com a capacidade térmica do fluido limitante: NTU=\frac{U\,A}{C_{\min}}.
    • aqui U é o coeficiente global (em \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\!^\circ\mathrm{C}),
    • A é a área disponível ( \mathrm{m}^2),
    • C_{\min} é a menor capacidade térmica ( \mathrm{W}/\mathrm{K}).
  • Cálculo numérico: NTU=\frac{200\cdot0{,}625}{1000}=\frac{125}{1000}=0{,}125.
  • Interpretação simples: NTU pequeno (como aqui) significa que a área e/ou U não são grandes o suficiente para trocar muito calor frente à capacidade térmica do fluido limitante — então a efetividade será baixa e as temperaturas de saída ficarão relativamente perto das temperaturas de entrada.

Passo 6

Fórmula da efetividade para correntes paralelas, explicação e cálculo.
  • Para correntes paralelas (as duas correntes fluem no mesmo sentido), a efetividade \epsilon é dada por: \epsilon=\frac{1-\exp\big(-NTU(1+C_r)\big)}{1+C_r}.Explicação das quantidades:
    • \epsilon é a razão entre o calor real trocado e o máximo calor teoricamente disponível (se o fluido de menor capacidade fosse levado à temperatura do outro).
    • NTU e C_r já definidos.
  • Agora calculo numericamente. Primeiro o produto no expoente: NTU(1+C_r)=0{,}125\left(1+\frac{6}{19}\right)=0{,}125\cdot\frac{25}{19}=\frac{25}{152}\approx0{,}1644737.Então: \epsilon=\frac{1-\exp\!\big(-0{,}1644737\big)}{1{,}315789}\approx0{,}1153\\ \text{(aprox.)}.(Usei a função exponencial \exp para avaliar \mathrm{e}^{-0{,}16447}.)

Passo 7

Calcular a taxa de calor trocada Q usando a efetividade (e explicar).
  • A definição prática é: Q=\epsilon\, C_{\min}\,(T_{h,\text{in}}-T_{c,\text{in}}).onde (T_{h,\text{in}}-T_{c,\text{in}}) é a diferença de temperatura entre as entradas.
  • Substituindo valores: Q\approx0{,}1153\cdot1000\cdot(80-20)=0{,}1153\cdot1000\cdot60\approx6918\\ \mathrm{W}.(arredondando aos dígitos apresentados; mantive consistência com os valores de \epsilon usados).

Passo 8

Balanço de energia para obter as temperaturas de saída (explicando a lógica).
  • Balanço de energia para cada corrente (assumindo regime estacionário e sem armazenamento): Q=C_c\,(T_{c,\text{out}}-T_{c,\text{in}}), \qquad Q=C_h\,(T_{h,\text{in}}-T_{h,\text{out}}).Essas fórmulas vêm de Q=\dot m c_p \Delta T: a energia ganha pela água é C_c vezes sua elevação de temperatura; a energia perdida pelo óleo é C_h vezes sua queda de temperatura.
  • Resolvo para as temperaturas de saída: T_{c,\text{out}}=T_{c,\text{in}}+\frac{Q}{C_c}, \qquad T_{h,\text{out}}=T_{h,\text{in}}-\frac{Q}{C_h}.
  • Substituindo os valores numéricos (usando Q\approx6918\\ \mathrm{W}): T_{c,\text{out}}\approx20^\circ\mathrm{C}+\frac{6918}{3166{,}6667}\approx20^\circ\mathrm{C}+2{,}18^\circ\mathrm{C}\approx22{,}18^\circ\mathrm{C},
T_{h,\text{out}}\approx80^\circ\mathrm{C}-\frac{6918}{1000}\approx80^\circ\mathrm{C}-6{,}92^\circ\mathrm{C}\approx73{,}08^\circ\mathrm{C}.

Passo 9

Cheque rápido de consistência e comentário final incentivador.
  • Verifico rapidamente que as mudanças de temperatura fazem sentido: a água (com maior capacidade térmica) só aqueceu pouco (de 20^\circ\mathrm{C} para \approx22{,}18^\circ\mathrm{C}), enquanto o óleo, com menor capacidade térmica, resfriou mais (de 80^\circ\mathrm{C} para \approx73{,}08^\circ\mathrm{C}). Isso está em linha com C_h<C_c.
  • Resultado: trocador com NTU pequeno e efetividade baixa — trocou menos calor que o máximo possível. Você foi bem até aqui — a técnica efetividade–NTU é muito útil quando não se conhece as saídas; guarda ela que vai salvar nas provas!

Resposta

T_{c,\text{out}}\approx22{,}18^\circ\mathrm{C}
T_{h,\text{out}}\approx73{,}08^\circ\mathrm{C}

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