Duas partículas movem-se ao longo de um eixo retilíneo segundo:
e
. Determine:
a) o instante em que as partículas se encontram;
b) a posição do encontro;
c) as velocidades de cada partícula no instante do encontro;
d) a aceleração de cada partícula.
a) o instante em que as partículas se encontram;
b) a posição do encontro;
c) as velocidades de cada partícula no instante do encontro;
d) a aceleração de cada partícula.
Passo 1
O enunciado dá as posições das duas partículas em função do tempo:
-
. -
.
As perguntas são:
(a) o instante(s) em que as partículas se encontram (isto é,
);
(b) a posição desse encontro;
(c) as velocidades de cada partícula no instante do encontro;
(d) a aceleração de cada partícula.
(a) o instante(s)
(b) a posição
(c) as velocidades de cada partícula no instante do encontro;
(d) a aceleração de cada partícula.
Passo 2
Para encontrar o instante do encontro igualamos as posições:
Passando todos os termos para o lado esquerdo obtemos um polinômio quadrático em
:
Passo 3
Para resolver a equação quadrática
, usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Recordando: para uma equação
as raízes são
onde
,
,
neste caso. Calculamos o discriminante:
A raiz quadrada do discriminante é
. Assim as duas raízes são
Portanto temos as duas soluções exatas
Agora avaliamos numericamente para decidir qual tempo faz sentido físico (normalmente tomamos
):
Como o tempo físico típico é
, o instante do encontro relevante é
Passo 4
Agora calculamos a posição do encontro substituindo esse
em uma das funções de posição (usar
é mais simples porque é linear). Temos
Substituindo a solução exata
obtemos a forma exata
Avaliação numérica:
Passo 5
Velocidades: a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Aplicando regra de derivação termo a termo:
Para
,
Para
,
No instante do encontro
temos a velocidade de
Avaliação numérica:
E
é constante:
Passo 6
Acelerações: a aceleração é a derivada da velocidade (segunda derivada da posição). Derivando:
Para
,
Para
(constante),
Ambas são constantes; portanto no instante do encontro
e
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)