Duas partículas movem-se ao longo de um eixo retilíneo segundo: x_{A}(t)=2 t^{2}+3 t-1 e x_{B}(t)=18-5 t. Determine:
a) o instante em que as partículas se encontram;
b) a posição do encontro;
c) as velocidades de cada partícula no instante do encontro;
d) a aceleração de cada partícula.

Passo 1

O enunciado dá as posições das duas partículas em função do tempo:
  • x_A(t)=2 t^{2}+3 t-1.
  • x_B(t)=18-5 t.
As perguntas são:
(a) o instante(s) t em que as partículas se encontram (isto é, x_A(t)=x_B(t));
(b) a posição x desse encontro;
(c) as velocidades de cada partícula no instante do encontro;
(d) a aceleração de cada partícula.

Passo 2

Para encontrar o instante do encontro igualamos as posições:
x_A(t)=x_B(t)
2 t^{2}+3 t-1 = 18-5 t
Passando todos os termos para o lado esquerdo obtemos um polinômio quadrático em t:
2 t^{2}+3 t+5 t-1-18=0
2 t^{2}+8 t-19=0

Passo 3

Para resolver a equação quadrática \,2 t^{2}+8 t-19=0, usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Recordando: para uma equação \,a t^{2}+b t+c=0 as raízes são
t=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde a=2, b=8, c=-19 neste caso. Calculamos o discriminante:
\Delta = b^{2}-4 a c = 8^{2}-4\cdot 2\cdot(-19)=64+152=216.
A raiz quadrada do discriminante é \sqrt{216}=\sqrt{36\cdot6}=6\sqrt{6}. Assim as duas raízes são
t=\frac{-8\pm 6\sqrt{6}}{2\cdot 2}=\frac{-8\pm 6\sqrt{6}}{4}.
Portanto temos as duas soluções exatas
t_1=\frac{-8+6\sqrt{6}}{4},\qquad t_2=\frac{-8-6\sqrt{6}}{4}.
Agora avaliamos numericamente para decidir qual tempo faz sentido físico (normalmente tomamos t\ge 0):
t_1\approx\frac{-8+14{,}6969}{4}\approx\frac{6{,}6969}{4}\approx1{,}6742,
t_2\approx\frac{-8-14{,}6969}{4}\approx\frac{-22{,}6969}{4}\approx-5{,}6742.
Como o tempo físico típico é t\ge 0, o instante do encontro relevante é
t=\frac{-8+6\sqrt{6}}{4}\approx1{,}6742.

Passo 4

Agora calculamos a posição do encontro substituindo esse t em uma das funções de posição (usar x_B é mais simples porque é linear). Temos
x_{\text{encontro}}=x_B(t)=18-5t.
Substituindo a solução exata t=\dfrac{-8+6\sqrt{6}}{4} obtemos a forma exata
x_{\text{encontro}}=18-5\cdot\frac{-8+6\sqrt{6}}{4} =18-\frac{-40+30\sqrt{6}}{4} =18+\;10-\frac{15}{2}\sqrt{6} =28-\frac{15}{2}\sqrt{6}.
Avaliação numérica:
x_{\text{encontro}}\approx 28- \frac{15}{2}\cdot 2{,}44949\approx 9{,}6288.

Passo 5

Velocidades: a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Aplicando regra de derivação termo a termo:
Para x_A(t)=2t^{2}+3t-1,
v_A(t)=\frac{d}{dt}x_A(t)=\frac{d}{dt}\big(2t^{2}\big)+\frac{d}{dt}\big(3t\big)+\frac{d}{dt}(-1)=4t+3.
Para x_B(t)=18-5t,
v_B(t)=\frac{d}{dt}x_B(t)=\frac{d}{dt}(18)+\frac{d}{dt}(-5t)=0-5=-5.
No instante do encontro t=\dfrac{-8+6\sqrt{6}}{4} temos a velocidade de A
v_A\bigg(\frac{-8+6\sqrt{6}}{4}\bigg)=4\cdot\frac{-8+6\sqrt{6}}{4}+3=(-8+6\sqrt{6})+3=-5+6\sqrt{6}.
Avaliação numérica:
v_A\approx -5+6\cdot 2{,}44949\approx 9{,}6969.
E v_B é constante:
v_B=-5.

Passo 6

Acelerações: a aceleração é a derivada da velocidade (segunda derivada da posição). Derivando:
Para v_A(t)=4t+3,
a_A(t)=\frac{d}{dt}v_A(t)=\frac{d}{dt}(4t)+\frac{d}{dt}(3)=4.
Para v_B(t)=-5 (constante),
a_B(t)=\frac{d}{dt}v_B(t)=0.
Ambas são constantes; portanto no instante do encontro a_A=4 e a_B=0.

Resposta

(a) t=\dfrac{-8+6\sqrt{6}}{4}\approx 1{,}6742.
(b) x=28-\dfrac{15}{2}\sqrt{6}\approx 9{,}6288.
(c) v_A=-5+6\sqrt{6}\approx 9{,}6969,\quad v_B=-5.
(d) a_A=4,\quad a_B=0.

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