A aceleração de uma partícula em um duto de ventilação industrial é dada por:
. Sabendo que no instante
a velocidade é
e a posição é
, determine:
a) a função velocidade;
b) a função posição;
c) o instante em que a velocidade é mínima;
a) a função velocidade;
b) a função posição;
c) o instante em que a velocidade é mínima;
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
- Dado:
(aceleração da partícula). - Condições iniciais:
e . - Pedidos:
a) determinar a função velocidade;
b) determinar a função posição;
c) determinar o instante em que a velocidade é mínima.
Passo 2
Conceito essencial (rapidamente e com cuidado): aceleração é a derivada da velocidade e velocidade é a derivada da posição. Em fórmulas:
Para obter
a partir de
usamos antiderivação (integração). A regra básica que usaremos é a regra potência: para
,
onde
é a constante de integração que será determinada pela condição inicial
.
Passo 3
Calcular a antiderivada de
. Integramos termo a termo:
Portanto a forma geral da velocidade é
onde
é constante.
Passo 4
Encontrar a constante
usando a condição inicial
.
Substituindo na expressão de
:
Substituindo
Como
, segue
. Logo a velocidade é
Passo 5
Agora obtemos a posição integrando a velocidade. Usamos novamente a regra potência e teremos outra constante de integração. A relação é
onde
é constante a ser determinada por
.
Passo 6
Computar a integral termo a termo:
Assim a posição geral é
Usando
obtemos
. Portanto
Passo 7
Determinar o instante em que a velocidade é mínima. Lembrete prático: pontos críticos de
ocorrem quando
. Mas
. Logo as candidatas a extremos são soluções de
Resolver:
Para classificar se cada ponto é mínimo ou máximo usamos a segunda derivada de
, que é
. Calculamos
Avaliar em cada candidato:
Podemos conferir comparando valores:
e
que é menor que
. Portanto a velocidade atinge mínimo em
.