A aceleração de uma partícula em um duto de ventilação industrial é dada por: a(t)=12 t^{2}-6 t. Sabendo que no instante t=0 a velocidade é v_{0}=4 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e a posição é x_{0}=1 \mathrm{~m}, determine:
a) a função velocidade;
b) a função posição;
c) o instante em que a velocidade é mínima;

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
  • Dado: \,a(t)=12 t^{2}-6 t\, (aceleração da partícula).
  • Condições iniciais: \,v(0)=4\\ \mathrm{m/s}\, e \,x(0)=1\\ \mathrm{m}\,.
  • Pedidos:
    a) determinar a função velocidade v(t);
    b) determinar a função posição x(t);
    c) determinar o instante em que a velocidade é mínima.

Passo 2

Conceito essencial (rapidamente e com cuidado): aceleração é a derivada da velocidade e velocidade é a derivada da posição. Em fórmulas:
a(t)=v'(t),\qquad v(t)=x'(t).
Para obter v(t) a partir de a(t) usamos antiderivação (integração). A regra básica que usaremos é a regra potência: para t^n,
\int t^n\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é a constante de integração que será determinada pela condição inicial v(0)=4.

Passo 3

Calcular a antiderivada de a(t)=12 t^{2}-6 t. Integramos termo a termo:
\int 12 t^{2}\,dt = 12\cdot\frac{t^{3}}{3}=4 t^{3},
\int -6 t\,dt = -6\cdot\frac{t^{2}}{2}=-3 t^{2}.
Portanto a forma geral da velocidade é
v(t)=4 t^{3}-3 t^{2}+C,
onde C é constante.

Passo 4

Encontrar a constante C usando a condição inicial \,v(0)=4\,.
Substituindo t=0 na expressão de v(t):
v(0)=4\cdot 0^{3}-3\cdot 0^{2}+C=C.
Como v(0)=4, segue C=4. Logo a velocidade é
v(t)=4 t^{3}-3 t^{2}+4.

Passo 5

Agora obtemos a posição integrando a velocidade. Usamos novamente a regra potência e teremos outra constante de integração. A relação é
x(t)=\int v(t)\,dt = \int\bigl(4 t^{3}-3 t^{2}+4\bigr)\,dt + D,
onde D é constante a ser determinada por x(0)=1.

Passo 6

Computar a integral termo a termo:
\int 4 t^{3}\,dt = 4\cdot\frac{t^{4}}{4}=t^{4},
\int -3 t^{2}\,dt = -3\cdot\frac{t^{3}}{3}=-t^{3},
\int 4\,dt = 4t.
Assim a posição geral é
x(t)=t^{4}-t^{3}+4t + D.
Usando x(0)=1 obtemos D=1. Portanto
x(t)=t^{4}-t^{3}+4t+1.

Passo 7

Determinar o instante em que a velocidade é mínima. Lembrete prático: pontos críticos de v(t) ocorrem quando v'(t)=0. Mas v'(t)=a(t). Logo as candidatas a extremos são soluções de
a(t)=12 t^{2}-6 t=0.
Resolver:
12 t^{2}-6 t=6t(2t-1)=0 \quad\Rightarrow\quad t=0 \quad\text{ou}\quad t=\tfrac{1}{2}.
Para classificar se cada ponto é mínimo ou máximo usamos a segunda derivada de v, que é v''(t)=a'(t). Calculamos
a'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(12 t^{2}-6 t\bigr)=24 t-6.
Avaliar em cada candidato:
a'(0)=24\cdot 0-6=-6<0\quad\Rightarrow\quad t=0\\ \text{é ponto de máximo local de }v,éá
a'\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)=24\cdot\tfrac{1}{2}-6=12-6=6>0\quad\Rightarrow\quad t=\tfrac{1}{2}\\ \text{é ponto de mínimo local de }v.éí
Podemos conferir comparando valores: v(0)=4 e
v\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)=4\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^{3}-3\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}+4 =4\cdot\tfrac{1}{8}-3\cdot\tfrac{1}{4}+4 =\tfrac{1}{2}-\tfrac{3}{4}+4=3{,}75\\ \mathrm{m/s},
que é menor que v(0). Portanto a velocidade atinge mínimo em t=\tfrac{1}{2}\\ \mathrm{s}.

Resposta

v(t)=4 t^{3}-3 t^{2}+4\\ \mathrm{(m/s)}
x(t)=t^{4}-t^{3}+4t+1\\ \mathrm{(m)}
t=\tfrac{1}{2}\\ \mathrm{s}

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