Um reservatório esférico é usado para armazenar um material a alta temperatura. A parede desse reservatório é uma casca esférica feita por um material com condutividade térmica
. Na parte interna da parede, em
, a temperatura é
. Na parte externa da parede, em
, a temperatura é
. A equação diferencial que governa o comportamento da temperatura dentro da parede (em regime permanente e com simetria em relação ao ponto central) é dada por:
Determine a taxa de condução radial de calor pela parede. (A área de uma superfície esférica de raio
é
).
Passo 1
Beleza, o exercício diz que temos uma casca esférica (entre raios
e
) com condutividade térmica
. Na face interna (
) a temperatura é
e na externa (
) é
. É regime permanente (não muda no tempo) e há simetria esférica, então a equação de calor vira
O conteúdo é condução de calor em coord. esféricas e vamos usar:
• Integração de equações diferenciais.
• Lei de Fourier (fluxo de calor).
• Área de superfície esférica .
• Integração de equações diferenciais.
• Lei de Fourier (fluxo de calor).
• Área de superfície esférica
Passo 2
Primeiro a gente resolve a equação diferencial. Como
é constante, dá pra tirar de dentro da derivada:
Integramos em
:
onde
é constante de integração. Agora isolamos
:
Passo 3
Integramos de novo para achar
:
com
outra constante. Agora aplicamos as condições de contorno:
- Em
, :
- Em
, :
Subtraindo as duas:
Passo 4
Para achar a taxa de calor radial
, usamos a Lei de Fourier na direção radial:
e como a área da esfera é
, e
, temos
Como
é constante (independe de
), vale para qualquer raio entre
e
. Substituindo
:
Resposta
Essa é a taxa de condução radial de calor pela casca esférica.