Um reservatório esférico é usado para armazenar um material a alta temperatura. A parede desse reservatório é uma casca esférica feita por um material com condutividade térmica 
 . Na parte interna da parede, em 
 , a temperatura é 
 . Na parte externa da parede, em 
 , a temperatura é 
 . A equação diferencial que governa o comportamento da temperatura dentro da parede (em regime permanente e com simetria em relação ao ponto central) é dada por:
 
Determine a taxa de condução radial de calor pela parede. (A área de uma superfície esférica de raio 
  é 
  ).
Passo 1
Beleza, o exercício diz que temos uma casca esférica (entre raios 
  e 
 ) com condutividade térmica 
 . Na face interna (
 ) a temperatura é 
  e na externa (
 ) é 
 . É regime permanente (não muda no tempo) e há simetria esférica, então a equação de calor vira
O conteúdo é condução de calor em coord. esféricas e vamos usar:
• Integração de equações diferenciais.
• Lei de Fourier (fluxo de calor).
• Área de superfície esférica .
• Integração de equações diferenciais.
• Lei de Fourier (fluxo de calor).
• Área de superfície esférica
Passo 2
Primeiro a gente resolve a equação diferencial. Como 
  é constante, dá pra tirar de dentro da derivada:
Integramos em 
 :
onde 
  é constante de integração. Agora isolamos 
 :
Passo 3
Integramos de novo para achar 
 :
com 
  outra constante. Agora aplicamos as condições de contorno:
- Em 
, : 
 - Em 
, : 
Subtraindo as duas: 
Passo 4
Para achar a taxa de calor radial 
 , usamos a Lei de Fourier na direção radial:
e como a área da esfera é 
 , e 
 , temos
Como 
  é constante (independe de 
 ), vale para qualquer raio entre 
  e 
 . Substituindo 
 :
Resposta
Essa é a taxa de condução radial de calor pela casca esférica.