Um reservatório esférico é usado para armazenar um material a alta temperatura. A parede desse reservatório é uma casca esférica feita por um material com condutividade térmica k. Na parte interna da parede, em r=r1, a temperatura é T1. Na parte externa da parede, em r=r2, a temperatura é T2. A equação diferencial que governa o comportamento da temperatura dentro da parede (em regime permanente e com simetria em relação ao ponto central) é dada por:
1r^2 dd r(k r^2 d Td r)=0
Determine a taxa de condução radial de calor pela parede. (A área de uma superfície esférica de raio r é 4 pi r^2 ).

Passo 1

Beleza, o exercício diz que temos uma casca esférica (entre raios 1r^2ddrl(k,r^2,dTdrr)=0 e ) com condutividade térmica . Na face interna ( ) a temperatura é e na externa ( ) é . É regime permanente (não muda no tempo) e há simetria esférica, então a equação de calor vira
O conteúdo é condução de calor em coord. esféricas e vamos usar:
• Integração de equações diferenciais.
• Lei de Fourier (fluxo de calor).
• Área de superfície esférica .

Passo 2

Primeiro a gente resolve a equação diferencial. Como 1r^2ddrl(k,r^2,dTdrr)=0 Longrightarrow ddrl(r^2,dTdrr)=0 é constante, dá pra tirar de dentro da derivada:
r^2dTdr=C1,
Integramos em dTdr=C1r^2 :
onde é constante de integração. Agora isolamos :

Passo 3

Integramos de novo para achar T(r)=integralC1r^2,dr =-C1r+C2, :
T1-T2 =-C1r1+C1r2 =C1l(1r2-1r1r) ;Longrightarrow; C1 =T1-T21r2-1r1 =(T1-T2),r1r2r2-r1
com outra constante. Agora aplicamos as condições de contorno:
  1. Em , :
  2. Em , :

    Subtraindo as duas:

Passo 4

Para achar a taxa de calor radial dot Q=-k,A(r),dTdr, , usamos a Lei de Fourier na direção radial:
dot Q =-k,(4pi r^2),C1r^2 =-4pi k,C1
e como a área da esfera é dot Q =-4pi k;(T1-T2),r1r2r2-r1 =4pi k,r1r2r2-r1,(T2-T1) , e , temos
Como é constante (independe de ), vale para qualquer raio entre e . Substituindo :

Resposta

boxed dot Q =4pi k,r1,r2r2 - r1,l(T1 - T2r)
Essa é a taxa de condução radial de calor pela casca esférica.

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