Um reservatório de grandes dimensões, mantido em nível constante e sem comporta, alimenta um canal trapezoidal longo, de largura de fundo igual a
, inclinação dos taludes
. Sendo a vazão liberada por esse reservatório igual a
, determine a altura de água na entrada do canal e a energia especifica relativa ao nível de água constante no reservatório. Calcule também a altura de água no canal em um ponto a jusante distante da entrada. Represente as alturas de água e a energia especifica calculadas em um desenho esquemático, através de corte longitudinal. Despreze a perda de carga localizada na entrada do canal. ( 3,0 pts.)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
- Vazão:
- Canal trapezoidal com largura de fundo:
- Inclinação dos taludes:
(ou seja, , onde é o coeficiente lateral talude H/V). - Coeficiente de Manning:
- Declividade do fundo (inclinação do leito):
- Desprezar perda localizada na entrada e reservatório muito grande com nível constante.
O enunciado pede:
- Determinar a altura de água na entrada do canal (profundidade
na seção de entrada). - Determinar a energia específica relativa ao nível de água constante no reservatório (ou seja, o valor da energia específica na seção de entrada, tomando como referência o fundo do canal).
- Calcular a altura de água no canal em um ponto a jusante distante da entrada (interpreto isso como “ponto distante → fluxo em condição uniforme”, isto é, a profundidade normal
). - Representar esquematicamente as alturas e a energia específica em corte longitudinal (farei uma descrição do desenho).
A resolução começa agora.
Passo 2
Plano de solução e justificativa física (explicação didática, passo-a-passo, sem pular etapas):
- Primeiro vamos obter a profundidade normal
(profundidade para escoamento uniforme no trecho longo a jusante). Para isso usamos a fórmula de Manning para escoamento uniforme:
onde:
-
é a área da seção úmida (m^2), -
é o perímetro molhado (m), -
é o raio hidráulico (m), -
é a inclinação do fundo, -
é Manning. -
Em seguida determinamos a profundidade crítica
. A profundidade crítica é a profundidade que torna a energia específica mínima para uma dada vazão; ela satisfaz a condição derivada de , onde a energia específica é
A condição crítica pode ser escrita como
- Física importante para interpretar qual profundidade ocorre na entrada: um reservatório grande e com nível fixo que alimenta um canal sem comporta normalmente impõe uma condição de controle na entrada. Para uma dada vazão a seção de entrada tende a se ajustar à profundidade crítica (se a geometria permitir), porque a profundidade crítica é a que minimiza a energia específica necessária para atravessar a seção — assim a superfície livre do reservatório “cai” até o nível compatível com o escoamento através da entrada. Por isso, para este tipo de problema prático, a profundidade na entrada será tomada como a profundidade crítica
correspondente à vazão dada (isso é um comportamento clássico em problemas de controle por reservatório livre/entrada de canal). Assim: - Profundidade na entrada
. - Energia específica na entrada (relativa ao fundo) é
com . - A profundidade em um ponto distante (longa distância) será a profundidade normal
encontrada via Manning.
- Profundidade na entrada
Agora aplicamos as fórmulas concretas ao caso numérico.
Passo 3
Cálculo da profundidade normal
(escoamento uniforme a jusante).
- Expressões da geometria da seção trapezoidal (com
, largura de fundo ):
- Equação de Manning:
Substituindo valores numéricos conhecidos:
Portanto a constante multiplicativa é
Reescrevendo a equação:
Ou:
Calculemos o lado numérico:
Logo precisamos achar
tal que
- Resolução numérica por tentativas (mostro alguns passos para permitir fazer à mão na prova):
- Tentar
: -
-
- Calcula-se
(detalhes aritméticos omissos aqui, mas são cálculos diretos). - Valor abaixo do desejado
.
-
- Tentar
: -
, , (ainda abaixo).
-
- Ajustando e iterando (detalhes numéricos mostrados ao fazer na prova), a solução converge para:
(Observação: para facilitar a prova sem calculadora pode-se fazer tabelas de
versus
ou usar interpolação — aqui mostrei o processo por tentativas.)
Portanto:
Passo 4
Cálculo da profundidade crítica
(e, portanto, da profundidade na entrada).
- Condição de criticidade (derivada da energia específica):
No nosso caso
, então
Portanto a equação crítica fica:
- Substituindo
e :
Então devemos resolver numericamente:
- Resolução numérica por tentativas (mostro os passos principais):
- Tentar
: LHS ; RHS → LHS<RHS. - Tentar
: LHS ; RHS → LHS>RHS. - Refinando entre 1{,}10 e 1{,}12 encontramos convergência para
- Agora calculamos a área crítica
, velocidade crítica e energia específica crítica .
Energia específica na seção crítica:
Calculemos o termo da cabeça de velocidade:
Logo
- Interpretação física (resumindo o porquê da escolha
):
- O reservatório é grande e o nível é mantido constante; a seção de entrada funciona como uma seção de controle hidráulico. A profundidade que a água assume imediatamente na entrada para uma dada vazão tende a ser a profundidade crítica, pois essa profundidade corresponde ao mínimo de energia específica necessário para escoar essa vazão pela seção. Assim, a profundidade na entrada do canal é a profundidade crítica
encontrada. - Portanto a profundidade na entrada é:
E a energia específica relativa ao fundo (que é igual ao nível de água do reservatório, pois no reservatório a velocidade é desprezível) é
Passo 5
Comportamento a jusante e comparação entre
e
(interpretação física final):
- Achamos
e . - Como
, o escoamento normal a jusante é um escoamento supercrítico (profundidade normal menor que a crítica). - A sequência física será: reservatório (superfície livre alta) → seção de entrada com profundidade crítica
(controle) → logo após a entrada a profundidade cai (escoamento acelera) até atingir a profundidade normal supercrítica num trecho suficientemente distante. Não há salto hidráulico a jusante porque o regime a jusante é supercrítico (para haver salto hidráulico a jusante típico seria ter escoamento supercrítico atingando um trecho subcrítico, não é o caso aqui).
Passo 6
Desenho esquemático (descrição do corte longitudinal pedida pelo enunciado):
- Imagine um corte longitudinal do canal: à esquerda está o grande reservatório com superfície livre horizontal.
- No ponto de entrada do canal a superfície livre local tem altura relativa ao fundo igual a
(porque no reservatório a velocidade é desprezível, então o nível de reservatório coincide com a energia específica exigida na entrada). Marcar: altura na entrada e energia específica . - Seguindo para a direita (jusante), a superfície livre desce rapidamente até o valor da profundidade normal
e segue aproximadamente plana (para escoamento uniforme) muito à jusante. - Pode-se indicar no corte:
- Reservatório: superfície a nível constante (linha horizontal no topo).
- No nível do início do canal: marcar a profundidade
medida do fundo até a superfície. - Indicar a energia específica
como a distância vertical entre o fundo e a linha de superfície do reservatório (essa linha coincide com a superfície do reservatório). - A jusante, marcar
(linha de superfície mais baixa que a entrada).
(Esse esboço pode ser facilmente desenhado à mão durante a prova: uma grande lâmina à esquerda, transição na entrada com
e depois queda até
.)