Seja a=\left(r_{n} r_{n-1} \cdots r_{1} r_{0}\right)_{b}. Determinar a expansão de b^{m} a na base b.

Passo 1

O enunciado dá o número na base b
a=\left(r_{n} r_{n-1} \cdots r_{1} r_{0}\right)_{b},
onde cada dígito satisfaz 0\le r_{k}\le b-1 e r_{n}\neq0. Pede-se determinar a expansão de b^{m}a na base b. Aqui vou assumir que m é um inteiro não negativo (caso m<0 a resposta envolve dígitos fracionários).

Passo 2

Lembrete sobre notação posicional (rápidinha e sem medo): o significado da escrita \left(r_{n} r_{n-1}\cdots r_{0}\right)_{b} é
a=\sum_{k=0}^{n} r_{k}\,b^{k},
ou seja, cada dígito r_{k} multiplica o peso b^{k}. Aqui r_{0} é o dígito das unidades, r_{1} das unidades de b, r_{2} das unidades de b^{2}, e assim por diante até r_{n} em b^{n}.

Passo 3

Multiplicando por b^{m} aplicamos a propriedade distributiva sobre a soma:
b^{m}a=b^{m}\sum_{k=0}^{n} r_{k}\,b^{k}=\sum_{k=0}^{n} r_{k}\,b^{k+m}.
Agora fazemos uma troca de índice para ver os expoentes em ordem padrão: defina j=k+m. Quando k varia de 0 a n, j varia de m a n+m. Assim
b^{m}a=\sum_{j=m}^{n+m} r_{\,j-m}\,b^{j}.

Passo 4

A expressão acima mostra diretamente os dígitos da expansão em base b: para os expoentes j=0,1,\dots,m-1 não aparece nenhum termo na soma, o que equivale a dígitos 0 nas posições menos significativas; para j\ge m o coeficiente do termo b^{j} é r_{\,j-m}. Portanto os dígitos de b^{m}a (do mais significativo para o menos significativo) são
r_{n},r_{n-1},\dots,r_{0},\underbrace{0,0,\dots,0}_{m\\ \text{zeros}}.
Em palavras: multiplicar por b^{m} desloca todos os dígitos m posições para a esquerda e preenche as m posições menos significativas com zeros. Exemplos rápidos: se b=10, a=(314)_{10} e m=2 então b^{m}a=(31400)_{10}; se b=2, a=(1011)_{2} e m=3 então b^{m}a=(1011000)_{2}.

Passo 5

Observações finais: se m=0 nada muda; se m<0 a operação corresponde a deslocamento para a direita, produzindo dígitos após o separador fracionário (não tratado aqui). Força aí — é só lembrar que potências de base só “deslocam” os dígitos, sem gerar ``vai um’’ ou coisa parecida.

Resposta

\displaystyle b^{m}a=\bigl(r_{n} r_{n-1} \cdots r_{1} r_{0}\underbrace{0 0 \cdots 0}_{m}\bigr)_{b}

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