Seja a=\left(r_{n} r_{n-1} \cdots r_{1} r_{0}\right)_{b}. Determinar o quociente e o resto da divisão de a por b^{i}, n>i.

Passo 1

O enunciado dá o número a escrito na base b pelos dígitos
a = \left(r_{n} r_{n-1} \cdots r_{1} r_{0}\right)_{b},
com n>i. A pergunta é: qual o quociente e qual o resto da divisão de a por b^{i}?

Passo 2

Entender direitinho o que significa a escrita em base b. Isso quer dizer que
a=\sum_{k=0}^{n} r_k b^k,
onde cada dígito satisfaz 0\le r_k\le b-1 e é inteiro. Essa fórmula é só a definição de representação posicional: o dígito r_k multiplica a potência b^k.

Passo 3

Lembrar do algoritmo da divisão inteira: dividir a por b^{i} significa encontrar Q e R tais que
a = b^{i}Q + R\qquad\text{com}\qquad 0\le R < b^{i}.
Nosso objetivo é identificar Q e R em termos dos dígitos r_k.

Passo 4

Separe a soma da representação de a em duas partes: termos com potência menor que i e termos com potência maior ou igual a i. Escrevendo:
a=\sum_{k=0}^{i-1} r_k b^k \;+\; \sum_{k=i}^{n} r_k b^k.

Passo 5

Na segunda soma fatoramos b^{i}:
\sum_{k=i}^{n} r_k b^k = b^{i}\sum_{k=i}^{n} r_k b^{\,k-i}.
Assim a decomposição fica
a = b^{i}\underbrace{\left(\sum_{k=i}^{n} r_k b^{\,k-i}\right)}_{Q} \;+\; \underbrace{\left(\sum_{k=0}^{i-1} r_k b^k\right)}_{R}.
Portanto podemos identificar
Q=\sum_{k=i}^{n} r_k b^{\,k-i}, \qquad R=\sum_{k=0}^{i-1} r_k b^k.

Passo 6

Verifique a condição do resto: como cada r_k\le b-1, tem-se
R=\sum_{k=0}^{i-1} r_k b^k \le \sum_{k=0}^{i-1} (b-1)b^k = (b-1)\frac{b^{i}-1}{b-1}=b^{i}-1,
logo 0\le R\le b^{i}-1, isto é, 0\le R < b^{i} — como exigido pela divisão inteira. Assim a decomposição é válida e única.

Passo 7

Interpretação em termos de dígitos: a expressão de Q corresponde exatamente ao número formado pelos dígitos mais significativos \left(r_{n}r_{n-1}\cdots r_{i}\right)_{b}, enquanto R é o número formado pelos i dígitos menos significativos \left(r_{i-1}\cdots r_{0}\right)_{b}.

Passo 8

Um exemplo rápido para fixar (sem alterar a solução geral): em base b=10, se a=(1\,2\,3\,4\,5)_{10}=12345 e i=2, então Q=(1\,2\,3)_{10}=123 e R=(4\,5)_{10}=45, pois 12345=10^{2}\cdot123+45. Isso mostra o que significa “deslocar” os dígitos ao dividir por b^{i}.

Resposta

Quociente: \left(r_{n} r_{n-1} \cdots r_{i}\right)_{b} = \displaystyle\sum_{k=i}^{n} r_k b^{\,k-i}
Resto: \left(r_{i-1} \cdots r_{0}\right)_{b} = \displaystyle\sum_{k=0}^{i-1} r_k b^k

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