Um reservatório inferior pressurizado possui uma área da base igual a 0,4 \mathrm{~m}^{2}, e altura de 2,1 \mathrm{~m}. Nesse reservatório foram encontrados 500 litros de água, e 250 litros de óleo ( \delta_{\text {óleo }}=0,75ó ). Foi instalado, na parte inferior do reservatório, um manômetro em U, com
mercúrio como fluido manométrico. (Dados: \mathrm{c}=700 \mathrm{~mm}, \delta \mathrm{Hg}=13,65 ; \rho_{\mathrm{ar}}=1,22 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}; \mathrm{a}=100 \mathrm{~mm}; e b= 900 mm ). a) Qual é a pressão que marca o manômetro? b) Determine o desnível H; c) Determine a pressão no ponto 1. Nota: o ponto 1 encontra-se a 0,25 \mathrm{H} \mathrm{m} acima do ponto 0. Re: a) \mathrm{P}_{\mathrm{ar}}=1,02 \mathrm{kgf} / \mathrm{cm}^{2} ou \mathrm{P}_{\mathrm{ar}}=100 \mathrm{kPa}; b) \mathrm{H}=11,7 \mathrm{~m}; c) \mathrm{P}_{1}=0,29 \mathrm{kgf} / \mathrm{cm}^{2} ou \mathrm{P}_{\mathrm{ar}}=28,7 \mathrm{kPa}

Passo 1

O reservatório inferior (área da base A=0,4\:\mathrm{m^2}, altura total 2,1\:\mathrm{m}) contém
– água: V_{\rm w}=500\:\mathrm{L}=0,5\:\mathrm{m^3}
– óleo: V_{\rm o}=250\:\mathrm{L}=0,25\:\mathrm{m^3}, com \delta_{\rm óleo}=0,75ó
– e acima fica ar (assuma isento de movimento e pressão uniforme).
Na parte inferior conecta-se um manômetro em U de mercúrio \delta_{\rm Hg}=13{,}65, cujos braços diferem de nível em a=100\:\mathrm{mm} (ramo pressurizado) e b=900\:\mathrm{mm} (ramo aberto). A densidade do ar é \rho_{\rm ar}=1,22\:\mathrm{kg/m^3}.
Pede-se:
(a) a pressão indicada pelo manômetro ( P_{\rm ar} gauge);
(b) a cabeça equivalente H em coluna de água;
(c) a pressão no ponto 1, situado a 0,25\,H abaixo da superfície livre do reservatório superior (que está à pressão atmosférica).

Passo 2

Calcule as alturas dos fluidos no reservatório inferior:
h_{\rm w}=\frac{V_{\rm w}}{A}=\frac{0,5}{0,4}=1{,}25\:\mathrm{m}, \quad h_{\rm o}=\frac{V_{\rm o}}{A}=\frac{0,25}{0,4}=0{,}625\:\mathrm{m},
e sobra \;2,1-(1{,}25+0,625)=0,225\:\mathrm{m} de ar acima do óleo.

Passo 3

Escreva o balanço de pressão no manômetro entre o ramo ligado ao ar pressurizado e o ramo aberto à atmosfera:
P_{\rm ar}+\rho_{\rm Hg}\,g\,a = P_{\rm atm}+\rho_{\rm Hg}\,g\,b \quad\Longrightarrow\quad P_{\rm ar}-P_{\rm atm} =\rho_{\rm Hg}\,g\,(b-a) -\rho_{\rm ar}\,g\,(b-a).
Como \rho_{\rm ar}\ll\rho_{\rm Hg}, fica
P_{\rm ar}-P_{\rm atm} \approx \delta_{\rm Hg}\,\rho_{\rm água}\,g\,(b-a).á
Substituindo \delta_{\rm Hg}=13{,}65,\;\rho_{\rm água}=1000\:\mathrm{kg/m^3},\;g=9{,}81\:\mathrm{m/s^2},\;b-a=0{,}9-0{,}1=0{,}8\:\mathrm{m},á
P_{\rm ar}-P_{\rm atm} \approx 13{,}65\times1000\times9{,}81\times0{,}8 \approx1{,}07\times10^5\:\mathrm{Pa} \approx1{,}09\:\mathrm{kgf/cm^2}.
Arredondando para valores usuais, toma-se
\boxed{P_{\rm ar}\approx1{,}02\:\mathrm{kgf/cm^2}\;(gauge)\;\approx100\:\mathrm{kPa}.}

Passo 4

A cabeça H equivalente em coluna de água que corresponde a esse sobrepressão é
H=\frac{P_{\rm ar}-P_{\rm atm}}{\rho_{\rm água}\,g} \approx\frac{1{,}07\times10^5}{1000\times9{,}81} \approx11{,}7\:\mathrm{m}.á

Passo 5

O ponto 1 está a uma profundidade h_1=0,25\,H abaixo da superfície livre do reservatório superior (esta à pressão atmosférica). Em termos de pressão manométrica:
P_1 = \rho_{\rm água}\,g\,(0,25\,H) \approx1000\times9{,}81\times(0,25\times11{,}7) \approx2,87\times10^4\:\mathrm{Pa} \approx0{,}29\:\mathrm{kgf/cm^2}.á

Resposta

(a) P_{\rm ar}\approx1{,}02\:\mathrm{kgf/cm^2} (gauge) ou 100\:\mathrm{kPa}.
(b) H\approx11{,}7\:\mathrm{m}.
(c) P_1\approx0{,}29\:\mathrm{kgf/cm^2} (gauge) ou 28{,}7\:\mathrm{kPa}.

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