Questão 3 (10 pontos):
Uma placa plana fina e quadrada tem 1,2 \mathrm{~m} de cada lado. 0 ar a 10^{\circ} \mathrm{C} escoa ao longo das superfícies superior e inferior da placa na direção paralela à aresta, com velocidade de 48 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. A superfície da placa é mantida a uma temperatura constante de 54^{\circ} \mathrm{C}.
(a)Determine o regime do escoamento (laminar ou turbulento; laminar e turbulento).
(b)Determine a taxa total de transferência de calor a partir da placa para o ar.

Passo 1

O enunciado descreve uma placa quadrada de lado L=1{,}2\\ \mathrm{m} submetida a escoamento forçado de ar nas duas faces (superior e inferior) com velocidade U=48\\ \mathrm{m/s}. A temperatura do ar é T_\infty=10{,}\circ\mathrm{C} e a placa está a T_s=54{,}\circ\mathrm{C}. Precisamos:
  1. determinar onde o escoamento é laminar e onde é turbulento,
  2. calcular a taxa total de transferência de calor convectiva da placa para o ar.
Conteúdo a usar: teoria de convecção forçada sobre placa plana, número de Reynolds, correlações de Nusselt para escoamentos laminar e turbulento, integração das distribuições locais de coeficiente de convecção.

Passo 2

Estimamos propriedades do ar à temperatura de filme \displaystyle T_f=\frac{T_s+T_\infty}{2}=\frac{54+10}{2}=32{,}\circ\mathrm{C}.
Valores típicos em T_f:
\nu = 1{,}61\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s},\quad k = 0{,}0263\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},\quad \Pr = 0{,}71.
Calculamos o número de Reynolds baseado em L:
\Re_L = \frac{U\,L}{\nu} = \frac{48 \times 1{,}2}{1{,}61\times10^{-5}} \approx 3{,}6\times10^{6}.

Passo 3

Em placa plana, o escoamento é laminar enquanto \Re_x<5\times10^5. O ponto de transição \displaystyle x_{cr} satisfaz
\Re_{x_{cr}} = \frac{U\,x_{cr}}{\nu} = 5\times10^5 \quad\Longrightarrow\quad x_{cr} = \frac{5\times10^5\,\nu}{U} \approx \frac{5\times10^5\cdot1{,}61\times10^{-5}}{48} \approx0{,}17\\ \mathrm{m}.
Logo, a região de 0\le x\le0{,}17\\ \mathrm{m} é laminar e de 0{,}17 a 1{,}2\\ \mathrm{m} é turbulenta.

Passo 4

Usamos as correlações locais de Nusselt para cada regime:
Para o trecho laminar 0\le x\le x_{cr}:
\Nu_x^{\rm lam} =0{,}332\,\Re_x^{1/2}\,\Pr^{1/3},
para o trecho turbulento x_{cr}\le x\le L:
\Nu_x^{\rm turb} =0{,}0296\,\Re_x^{0.8}\,\Pr^{1/3}.
O coeficiente de convecção local é \displaystyle h_x=\frac{k\,\Nu_x}{x}.
A taxa de calor por unidade de largura (no sentido perpendicular a x) é
q' = \int_{0}^{x_{cr}} h_x\,(T_s-T_\infty)\,dx +\int_{x_{cr}}^{L} h_x\,(T_s-T_\infty)\,dx.
Fazendo as integrais conhecidas, obtém-se:
q'_{\rm lam} =0{,}664\,k\,\Pr^{1/3}\,\bigl(\Re_{x_{cr}}\bigr)^{1/2}\,(T_s-T_\infty),
q'_{\rm turb} =0{,}0293\,k\,\Pr^{1/3}\,\bigl(\Re_{L}\bigr)^{0.8}\,(T_s-T_\infty).
Então q'=q'_{\rm lam}+q'_{\rm turb}.

Passo 5

Substituindo valores numéricos: \Re_{x_{cr}}=5\times10^5, \Re_L=3{,}6\times10^6, \Pr^{1/3}\approx0{,}71^{1/3}=0{,}89, \Delta T=T_s-T_\infty=44\\ \mathrm K.
Calcula-se
q'_{\rm lam} =0{,}664\cdot0{,}0263\cdot0{,}89\cdot(5\times10^5)^{1/2}\cdot44 \approx484\\ \mathrm{W/m},
q'_{\rm turb} =0{,}0293\cdot0{,}0263\cdot0{,}89\cdot(3{,}6\times10^6)^{0.8}\cdot44 \approx5294\\ \mathrm{W/m},
q' = 484 + 5294 \approx 5778\\ \mathrm{W/m}.

Passo 6

A placa tem largura (para cada face) igual a b=1{,}2\\ \mathrm m. Então a taxa de calor por face é
Q_{\rm face} = q'\,b \approx 5778 \times 1{,}2 \approx 6933\\ \mathrm W.
Como há duas faces (superior e inferior), a taxa total é
Q_{\rm total}=2\,Q_{\rm face}\approx2\times6933\approx1{,}39\times10^4\\ \mathrm W.

Resposta

(a) O escoamento é laminar para 0\le x\le0{,}17\\ \mathrm m e turbulento para 0{,}17<x\le1{,}2\\ \mathrm m.
(b) Q_{\rm total}\approx1{,}39\times10^4\\ \mathrm W.

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