Questão 2 (10 pontos):
Uma placa de alumínio de espessura total L=3 \mathrm{~cm} e uma temperatura uniforme de 225^{\circ} \mathrm{C} é repentinamente submersa em um fluido bem agitado mantido a uma temperatura T_{\infty}=25^{\circ} \mathrm{C}. Admite-se um coeficiente de transferência de calor por convecção h=320 \frac{\mathrm{~W}}{\mathrm{~m}^{2} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}} e tomam-se as propriedades da placa de alumínio como sendo:
k=160 \frac{\mathrm{~W}}{\mathrm{~m} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}}, \quad \rho=2790 \frac{\mathrm{~kg}}{\mathrm{~m}^{3}}, \quad c_{p}=880 \frac{\mathrm{~J}}{\mathrm{~kg} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}} .
Determine:
a)O tempo requerido para que o centro da placa atinja 50^{\circ} \mathrm{C};
b)A taxa de transferência de calor da placa para o fluido.

Passo 1

O enunciado descreve uma placa de alumínio de espessura total L=0,03\\ \mathrm{m} inicialmente à temperatura uniforme T_{i}=225\,^{\circ}\mathrm{C}, submersa em fluido a T_{\infty}=25\,^{\circ}\mathrm{C} com coeficiente de convecção h=320\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}\!/\!^{\circ}\mathrm{C}. As propriedades da placa são k=160\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\!/\!^{\circ}\mathrm{C}, \rho=2790\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}, c_{p}=880\\ \mathrm{J}/\mathrm{kg}\!/\!^{\circ}\mathrm{C}. O conteúdo envolve condução transiente em corpo sólido e usaremos o método do corpo concentrado.

Passo 2

Devemos verificar o número de Biot para justificar o método do corpo concentrado. Tomamos o comprimento característico L_{c}=L/2=0,015\\ \mathrm{m}.
\mathrm{Bi}=\frac{h\,L_{c}}{k} =\frac{320\times0,015}{160} =0{,}03<0{,}1.
Como \mathrm{Bi}<0{,}1, a resistência térmica interna é desprezível e a placa permanece quase isoterma; podemos usar o modelo lumped.

Passo 3

No modelo lumped a temperatura uniforme T(t) satisfaz
T(t)=T_{\infty}+(T_{i}-T_{\infty}) \exp\!\Bigl(-\frac{h\,A_{\mathrm{conv}}}{\rho\,V\,c_{p}}\;t\Bigr).
Para a placa, A_{\mathrm{conv}}=2A_{s} (duas faces) e V=A_{s}L, de modo que
\frac{h\,A_{\mathrm{conv}}}{\rho\,V\,c_{p}} =\frac{2h}{\rho\,L\,c_{p}}.
Queremos T(t)=50\,^{\circ}\mathrm{C}, logo
50=25+(225-25)\exp\!\Bigl(-\frac{2h}{\rho L c_{p}}\,t\Bigr).
Isolando t,
t=-\frac{\rho\,L\,c_{p}}{2h} \ln\frac{50-25}{225-25}.

Passo 4

Substituindo os valores,
t =-\frac{2790\times0{,}03\times880}{2\times320} \ln\!\bigl(\tfrac{25}{200}\bigr) \approx115{,}1\;\bigl|\ln(0{,}125)\bigr| \approx115{,}1\times2{,}079 \approx239{,}2\\ \mathrm{s}.
Arredondando, t\approx2,4\times10^{2}\\ \mathrm{s}.

Passo 5

A taxa de transferência de calor por unidade de área na superfície da placa naquele instante é
q''=h\bigl[T(t)-T_{\infty}\bigr] =320\;(50-25) =8{,}0\times10^{3}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}.
Se se quiser a taxa total e a área de cada face for A_{s}, então q_{\mathrm{total}}=q''\times2A_{s}.

Resposta

a) t\approx2,4\times10^{2}\\ \mathrm{s}.
b) q''=8,0\times10^{3}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2} (logo q=2A_{s}\times8,0\times10^{3}\\ \mathrm{W}, se A_{s} for dada).

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