Um reservatório possui 100 litros de uma solução contendo 30 g de sal. Água (sem sal) entra no tanque com uma vazão de
e a mistura escoa a
, considerando que a concentração se mantém uniforme por agitação.
a) Determine uma expressão para a quantidade e para a concentração de sal no tanque em um tempo
qualquer.
b) Determinar qual a concentração de sal no tanque ao final de 35 minutos.
a) Determine uma expressão para a quantidade e para a concentração de sal no tanque em um tempo
b) Determinar qual a concentração de sal no tanque ao final de 35 minutos.
Passo 1
O enunciado descreve um reservatório com volume inicial de 100 L contendo 30 g de sal. Estamos num problema de mistura com entrada de água pura a 6 L/min e saída de solução a 4 L/min, e precisamos achar a quantidade de sal S(t) e a concentração C(t) ao tempo t.
Passo 2
Definimos S(t) como a quantidade de sal (em gramas) no tanque e V(t) como o volume (em litros) no tempo t. Como entram 6 L/min e saem 4 L/min, temos
Passo 3
Como a água de entrada não traz sal, a variação de S é só pela saída. A concentração instantânea é S(t)/V(t), e a vazão de saída é 4 L/min, logo
Passo 4
Resolvendo a equação por separação de variáveis:
Integrando ambos os lados:
Portanto
Usando S(0)=30, temos
então
Passo 5
A concentração é C(t)=S(t)/V(t). Logo
Passo 6
Para t=35 min, temos V(35)=100+2·35=170 L e
Resposta
S(t)=\tfrac{300000}{(100+2t)^2}\quad e\quad C(t)=\tfrac{300000}{(100+2t)^3}.\ A\ concentração\ ao\ fim\ de\ 35\ min\ é\ C(35)\approx0{,}0611\ \mathrm{g/L}.