Um reservatório possui 100 litros de uma solução contendo 30 g de sal. Água (sem sal) entra no tanque com uma vazão de 6 L / min e a mistura escoa a 4 L / min, considerando que a concentração se mantém uniforme por agitação.
a) Determine uma expressão para a quantidade e para a concentração de sal no tanque em um tempo t qualquer.
b) Determinar qual a concentração de sal no tanque ao final de 35 minutos.

Passo 1

O enunciado descreve um reservatório com volume inicial de 100 L contendo 30 g de sal. Estamos num problema de mistura com entrada de água pura a 6 L/min e saída de solução a 4 L/min, e precisamos achar a quantidade de sal S(t) e a concentração C(t) ao tempo t.

Passo 2

Definimos S(t) como a quantidade de sal (em gramas) no tanque e V(t) como o volume (em litros) no tempo t. Como entram 6 L/min e saem 4 L/min, temos
V(t)=100+(6-4)t=100+2t

Passo 3

Como a água de entrada não traz sal, a variação de S é só pela saída. A concentração instantânea é S(t)/V(t), e a vazão de saída é 4 L/min, logo
dSdt=0-4cdotS(t)V(t)=-4S(t)100+2t

Passo 4

Resolvendo a equação por separação de variáveis:
dSS=-4dt100+2t
Integrando ambos os lados:
ln S=-4integraldt100+2t=-2ln(100+2t)+C
Portanto
S(t)=K,(100+2t)^-2
Usando S(0)=30, temos
30=K,(100)^-2implies K=30times100^2=300000,
então
S(t)=300000(100+2t)^2

Passo 5

A concentração é C(t)=S(t)/V(t). Logo
C(t)=300000(100+2t)^3(g/L)

Passo 6

Para t=35 min, temos V(35)=100+2·35=170 L e
S(35)=300000170^2approx10,38 g,
C(35)=S(35)170approx0,0611 g/L

Resposta

S(t)=\tfrac{300000}{(100+2t)^2}\quad e\quad C(t)=\tfrac{300000}{(100+2t)^3}.\ A\ concentração\ ao\ fim\ de\ 35\ min\ é\ C(35)\approx0{,}0611\ \mathrm{g/L}.

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