Calcule a área da superfície S.
(a) S é a porçāo do plano 3 x+2 y+z=7 no primeiro octante.
(b) S é a porção do cilindro parabólico z^2=8 x, compreendida acima da regiāo 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= raizx.
© S é o triângulo com vértices nos pontos A=(2,0,0), B=(0,3,0) e C=(0,0,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de áreas de superfícies! Temos três partes diferentes:
(a) A área de uma porção do plano 3x + 2y + z = 7 no primeiro octante.
(b) A área de uma porção do cilindro parabólico z^2 = 8x acima da região 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= raizx.
© A área de um triângulo com vértices nos pontos A=(2,0,0), B=(0,3,0) e C=(0,0,2).
Vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariado, como integrais de superfície e fórmulas para áreas de triângulos no espaço.

Passo 2

Parte (a): Área da porção do plano no primeiro octante

Primeiro, vamos entender o que é o primeiro octante. No espaço 3D, o primeiro octante é onde x, y e z são todos positivos. Queremos a área da parte do plano 3x + 2y + z = 7 que fica nesse espaço.

Passo 3

Para calcular a área, vamos projetar essa porção do plano em um plano mais simples, como o plano xy, e usar a fórmula da integral de superfície. A fórmula geral para a área de uma superfície z = f(x,y) é:
Área = integral duplaD raiz1 + (partial zpartial x)^2 + (partial zpartial y)^2 , dx, dy Á

Passo 4

No nosso caso, podemos reescrever a equação do plano para expressar z em função de x e y:
z = 7 - 3x - 2y
Agora, calculamos as derivadas parciais:
partial zpartial x = -3 e partial zpartial y = -2

Passo 5

Substituindo na fórmula da área:
Área = integral duplaD raiz1 + (-3)^2 + (-2)^2 , dx, dy = integral duplaD raiz1 + 9 + 4 , dx, dy = integral duplaD raiz14 , dx, dy = raiz14 integral duplaD dx, dy Á
Então, a área será raiz14 vezes a área da projeção D no plano xy.

Passo 6

Agora, precisamos determinar a região D. No primeiro octante, z >= 0, então:
7 - 3x - 2y >= 0 implies 3x + 2y <= 7
Além disso, x >= 0 e y >= 0. Podemos desenhar essa desigualdade no plano xy para encontrar os limites de integração.

Passo 7

Encontramos os interceptos:
  • Se x = 0, então 2y = 7 implies y = 72.
  • Se y = 0, então 3x = 7 implies x = 73.
Então, a região D é um triângulo com vértices em (0,0), (73,0) e (0,72).

Passo 8

A área desse triângulo no plano xy é:
Área = 12 times 73 times 72 = 4912 Á

Passo 9

Substituindo na expressão da área da superfície:
Área = raiz14 times 4912 = 49raiz1412 Á

Resposta

A área da superfície S na parte (a) é 49raiz1412 unidades de área.

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