Calcule a área da superfície
.
(a)
é a porçāo do plano
no primeiro octante.
(b)
é a porção do cilindro parabólico
, compreendida acima da regiāo
e
.
©
é o triângulo com vértices nos pontos
e
.
(a)
(b)
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de áreas de superfícies! Temos três partes diferentes:
(a) A área de uma porção do plano no primeiro octante.
(b) A área de uma porção do cilindro parabólico acima da região
e
.
© A área de um triângulo com vértices nos pontos ,
e
.
Vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariado, como integrais de superfície e fórmulas para áreas de triângulos no espaço.
(a) A área de uma porção do plano
(b) A área de uma porção do cilindro parabólico
© A área de um triângulo com vértices nos pontos
Vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariado, como integrais de superfície e fórmulas para áreas de triângulos no espaço.
Passo 2
Parte (a): Área da porção do plano no primeiro octante
Primeiro, vamos entender o que é o primeiro octante. No espaço 3D, o primeiro octante é onde
,
e
são todos positivos. Queremos a área da parte do plano
que fica nesse espaço.
Passo 3
Para calcular a área, vamos projetar essa porção do plano em um plano mais simples, como o plano
, e usar a fórmula da integral de superfície. A fórmula geral para a área de uma superfície
é:
Passo 4
No nosso caso, podemos reescrever a equação do plano para expressar
em função de
e
:
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Passo 5
Substituindo na fórmula da área:
Então, a área será
vezes a área da projeção
no plano
.
Passo 6
Agora, precisamos determinar a região
. No primeiro octante,
, então:
Além disso,
e
. Podemos desenhar essa desigualdade no plano
para encontrar os limites de integração.
Passo 7
Encontramos os interceptos:
- Se
, então . - Se
, então .
Então, a região
é um triângulo com vértices em
,
e
.
Passo 8
A área desse triângulo no plano
é:
Passo 9
Substituindo na expressão da área da superfície:
Resposta
A área da superfície
na parte (a) é
unidades de área.