Um reservatório com volume útil de 600 hectômetros cúbicos (milhões de \mathrm{m}^{3} ) pode garantir uma vazão regularizada de 75 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}, considerando a sequência de vazões de entrada da tabela? A área do reservatório na condição equivalente ao volume máximo é de 120 \mathrm{~km}^{2}, e varia linearmente com o volume armazenado. Considere o reservatório inicialmente cheio, o volume morto é zero, a evaporação constante de 120 mm por mês, e que cada mês tem 2,592 milhões de segundos.
mês vazão mês vazão mês vazão
jan/62 162 jan/63 130 jan/64 141
fev/62 200 fev/63 140 fev/64 126
mar/62 120 mar/63 110 mar/64 138
abr/62 84 abr/63 83 abr/64 102
mai/62 58 mai/63 50 mai/64 91
jun/62 49 jun/63 48 jun/64 42
jul/62 38 jul/63 38 jul/64 39
ago/62 35 ago/63 35 ago/64 39
set/62 39 set/63 35 set/64 51
out/62 49 out/63 56 out/64 69
nov/62 116 nov/63 100 nov/64 103
dez/62 152 dez/63 197 dez/64 156

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (assumo que as vazões na tabela estão em \mathrm{m}^3/\mathrm{s}, que é o usual):
  • Volume útil máximo do reservatório: \;V_{\max}=600\\ \text{hm}^3=600\times10^{6}\\ \mathrm{m}^3.
  • Área do reservatório na condição de volume máximo: \;A_{\max}=120\\ \text{km}^2=120\times10^{6}\\ \mathrm{m}^2.
  • Variação linear da área com o volume armazenado (isto é, A é proporcional a V).
  • Volume morto igual a zero (ou seja, pode-se usar todo o V).
  • Evaporação constante: \;E=120\\ \text{mm/mês}=0{,}12\\ \mathrm{m/mês}êê.
  • Duração de cada mês: \;\Delta t = 2{,}592\times10^{6}\\ \mathrm{s}.
  • Vazão regularizada exigida (saída constante): \;Q_{\text{out}}=75\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
  • Sequência de vazões de entrada mensais Q_{\text{in}} (valores na tabela, em \mathrm{m}^3/\mathrm{s}; 36 meses, de jan/62 a dez/64).
  • Condição inicial: reservatório inicialmente cheio, isto é V_0=V_{\max}=600\times10^{6}\\ \mathrm{m}^3.
  • O que o enunciado pergunta: “Pode o reservatório garantir a vazão regularizada de 75\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s} para a sequência de entradas dada?” — ou seja, se mantendo essa saída constante e aplicando entradas e evaporação mês a mês, o volume nunca fica negativo (ou seja, não falta água).

Passo 2

Montar o balanço de massa mensal e explicar cada termo didaticamente.
  • Em um mês, a variação de volume é: entradas de água menos saídas (saída regulada + evaporação) e eventualmente transbordo (quando a água excede V_{\max} é desperdiçada).
  • Entradas em volume no mês: \;V_{\text{in}} = Q_{\text{in}}\cdot\Delta t (porque Q em \mathrm{m}^3/\mathrm{s} vezes segundos dá \mathrm{m}^3).
  • Saída regulada em volume no mês: \;V_{\text{out}} = Q_{\text{out}}\cdot\Delta t.
  • Evaporação em volume no mês: \;V_{\text{evap}} = E\cdot A, onde A é a área média do espelho d’água no mês (em \mathrm{m}^2) e E é a lâmina evaporada em metros.
  • Como a área varia linearmente com o volume e temos A_{\max} para V_{\max}, vale: A = A_{\max}\frac{V}{V_{\max}}.Substituindo números: A = 120\times10^{6}\\ \mathrm{m}^2 \cdot \frac{V}{600\times10^{6}\\ \mathrm{m}^3} = 0{,}2\,V \quad(\text{o que significa }A \text{ em m}^2 \text{ quando }V \text{ está em m}^3).á
  • Logo a evaporação em volume é V_{\text{evap}} = E\cdot A = 0{,}12\cdot(0{,}2\,V) = 0{,}024\,V \quad(\text{m}^3\text{ por mês}),êisto é, uma perda proporcional ao volume atual: perde-se 2{,}4\% do volume por mês devido à evaporação (por causa da hipótese de área linear).
  • Balanço discreto (passo a passo mensal): se V_k é o volume no início do mês k (em \mathrm{m}^3), a tentativa de volume no fim do mês é V_{k+1}^{\text{temp}} = V_k - V_{\text{evap}} + V_{\text{in}} - V_{\text{out}} = V_k - 0{,}024\,V_k + (Q_{\text{in},k}-Q_{\text{out}})\Delta t.Agrupando: V_{k+1}^{\text{temp}} = \underbrace{(1-0{,}024)}_{=0{,}976}\,V_k + (Q_{\text{in},k}-Q_{\text{out}})\Delta t.
  • Como o reservatório tem capacidade máxima V_{\max}, se V_{k+1}^{\text{temp}}>V_{\max} há transbordo e o volume real no fim do mês fica V_{k+1}=\min\bigl(V_{k+1}^{\text{temp}},\;V_{\max}\bigr).
  • Esse é o modelo que vamos executar mês a mês. Se em algum mês o volume calculado ficar negativo, significa que não dá para manter Q_{\text{out}}=75\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s} naquele mês.

Passo 3

Calcular constantes numéricas usadas repetidamente (tudo em \mathrm{m}^3 ou com fator 10^6 para facilitar):
  • \Delta t = 2{,}592\times10^{6}\\ \mathrm{s}.
  • Saída volumétrica mensal fixa: V_{\text{out}} = Q_{\text{out}}\Delta t = 75\cdot2{,}592\times10^{6} = 194{,}400{,}000\\ \mathrm{m}^3 = 194{,}4\times10^{6}\\ \mathrm{m}^3.
  • Para cada mês é conveniente calcular o termo D_k := (Q_{\text{in},k}-Q_{\text{out}})\Delta t = (Q_{\text{in},k}-75)\cdot2{,}592\times10^{6}\\ \mathrm{m}^3,que é o acréscimo (positivo ou negativo) no mês, desconsiderando a evaporação proporcional.
  • Fator multiplicativo do volume por evaporação: \alpha=1-0{,}024=0{,}976.
  • Começamos com V_0=600\times10^{6}\\ \mathrm{m}^3.

Passo 4

Agora calculo mês a mês. Para reduzir erro de notação vou expressar volumes em milhões de metros cúbicos ( 10^6\\ \mathrm{m}^3); escrevo M para “milhões de m^3”. Note que 600\\ \text{hm}^3 = 600\\ M.
Defino \Delta=2{,}592 (que é \Delta t em milhões de segundos multiplicado por 10^{-6}; assim D_k em milhões é (Q_{\text{in},k}-75)\Delta).
Cálculo dos D_k (em M) e iteração com o cap V_{\max}=600\\ M. Vou listar mês, Q_{\text{in}}, D_k (em M), cálculo V_{k+1}^{\text{temp}}=\alpha V_k + D_k e V_{k+1}=\min(V_{k+1}^{\text{temp}},600). (Os valores numéricos abaixo foram calculados passo a passo conforme a fórmula do Passo 2.)
  1. jan/62: Q=162\Rightarrow D=87\cdot2{,}592=225{,}504\\ \mathrm{(em\\ m^3)}=225{,}504{,}000 ( =225{,}504\\ M).
    V_1^{\text{temp}}=0{,}976\cdot600+225{,}504=811{,}104\\ M>600\Rightarrow V_1=600\\ M.
  2. fev/62: Q=200\Rightarrow D=125\cdot2{,}592=324{,}000\\ M.
    V_2^{\text{temp}}=0{,}976\cdot600+324{,}000=909{,}600\\ M>600\Rightarrow V_2=600\\ M.
  3. mar/62: Q=120\Rightarrow D=45\cdot2{,}592=116{,}640\\ M.
    V_3^{\text{temp}}=585{,}6+116{,}64=702{,}24\\ M>600\Rightarrow V_3=600\\ M.
  4. abr/62: Q=84\Rightarrow D=9\cdot2{,}592=23{,}328\\ M.
    V_4^{\text{temp}}=585{,}6+23{,}328=608{,}928\\ M>600\Rightarrow V_4=600\\ M.
  5. mai/62: Q=58\Rightarrow D=-17\cdot2{,}592=-44{,}064\\ M.
    V_5^{\text{temp}}=585{,}6-44{,}064=541{,}536\\ M\Rightarrow V_5=541{,}536\\ M.
  6. jun/62: Q=49\Rightarrow D=-26\cdot2{,}592=-67{,}392\\ M.
    V_6^{\text{temp}}=0{,}976\cdot541{,}536-67{,}392\approx461{,}147{,}136\\ \mathrm{m}^3=461{,}147{,}136\\ (461{,}147\\ M).
  7. jul/62: Q=38\Rightarrow D=-37\cdot2{,}592=-95{,}904\\ M.
    V_7\approx354{,}175{,}605\\ \mathrm{m}^3\\ (354{,}176\\ M).
  8. ago/62: Q=35\Rightarrow D=-40\cdot2{,}592=-103{,}680\\ M.
    V_8\approx241{,}995{,}390\\ \mathrm{m}^3\\ (241{,}995\\ M).
  9. set/62: Q=39\Rightarrow D=-36\cdot2{,}592=-93{,}312\\ M.
    V_9\approx142{,}875{,}501\\ \mathrm{m}^3\\ (142{,}876\\ M).
  10. out/62: Q=49\Rightarrow D=-26\cdot2{,}592=-67{,}392\\ M.
    V_{10}\approx72{,}054{,}486\\ \mathrm{m}^3\\ (72{,}054\\ M).
  11. nov/62: Q=116\Rightarrow D=41\cdot2{,}592=106{,}272\\ M.
    V_{11}\approx176{,}597{,}181\\ \mathrm{m}^3\\ (176{,}597\\ M).
  12. dez/62: Q=152\Rightarrow D=77\cdot2{,}592=199{,}584\\ M.
    V_{12}\approx371{,}942{,}849\\ \mathrm{m}^3\\ (371{,}943\\ M).
  13. jan/63: Q=130\Rightarrow D=55\cdot2{,}592=142{,}560\\ M.
    V_{13}\approx505{,}576{,}220\\ \mathrm{m}^3\\ (505{,}576\\ M).
  14. fev/63: Q=140\Rightarrow D=65\cdot2{,}592=168{,}480\\ M.
    V_{14}^{\text{temp}}=0{,}976\cdot505{,}576+168{,}480\approx661{,}922{,}709\\ M>600\Rightarrow V_{14}=600\\ M.
  15. mar/63: Q=110\Rightarrow D=35\cdot2{,}592=90{,}720\\ M.
    V_{15}^{\text{temp}}=585{,}6+90{,}72=676{,}32\\ M>600\Rightarrow V_{15}=600\\ M.
  16. abr/63: Q=83\Rightarrow D=8\cdot2{,}592=20{,}736\\ M.
    V_{16}^{\text{temp}}=585{,}6+20{,}736=606{,}336\\ M>600\Rightarrow V_{16}=600\\ M.
  17. mai/63: Q=50\Rightarrow D=-25\cdot2{,}592=-64{,}8\\ M.
    V_{17}=0{,}976\cdot600-64{,}8=520{,}8\\ M.
  18. jun/63: Q=48\Rightarrow D=-27\cdot2{,}592=-69{,}984\\ M.
    V_{18}\approx438{,}316{,}8\\ \mathrm{m}^3\\ (438{,}317\\ M).
  19. jul/63: Q=38\Rightarrow D=-95{,}904\\ M.
    V_{19}\approx331{,}893{,}197\\ \mathrm{m}^3\\ (331{,}893\\ M).
  20. ago/63: Q=35\Rightarrow D=-103{,}680\\ M.
    V_{20}\approx220{,}247{,}760\\ \mathrm{m}^3\\ (220{,}248\\ M).
  21. set/63: Q=35\Rightarrow D=-103{,}680\\ M.
    V_{21}\approx111{,}281{,}814\\ \mathrm{m}^3\\ (111{,}282\\ M).
  22. out/63: Q=56\Rightarrow D=-19\cdot2{,}592=-49{,}248\\ M.
    V_{22}\approx59{,}363{,}050\\ \mathrm{m}^3\\ (59{,}363\\ M). (aqui atingimos um dos mínimos observados)
  23. nov/63: Q=100\Rightarrow D=25\cdot2{,}592=64{,}8\\ M.
    V_{23}\approx122{,}738{,}337\\ \mathrm{m}^3\\ (122{,}738\\ M).
  24. dez/63: Q=197\Rightarrow D=122\cdot2{,}592=316{,}224\\ M.
    V_{24}\approx436{,}016{,}617\\ \mathrm{m}^3\\ (436{,}017\\ M).
  25. jan/64: Q=141\Rightarrow D=66\cdot2{,}592=171{,}072\\ M.
    V_{25}\approx596{,}624{,}218\\ \mathrm{m}^3 (abaixo, mas muito próximo de 600 M).
  26. fev/64: Q=126\Rightarrow D=51\cdot2{,}592=132{,}192\\ M.
    V_{26}^{\text{temp}}\approx714{,}497{,}237\\ M>600\Rightarrow V_{26}=600\\ M.
  27. mar/64: Q=138\Rightarrow D=63\cdot2{,}592=163{,}296\\ M.
    V_{27}^{\text{temp}}=585{,}6+163{,}296=748{,}896\\ M>600\Rightarrow V_{27}=600\\ M.
  28. abr/64: Q=102\Rightarrow D=27\cdot2{,}592=69{,}984\\ M.
    V_{28}^{\text{temp}}=585{,}6+69{,}984=655{,}584\\ M>600\Rightarrow V_{28}=600\\ M.
  29. mai/64: Q=91\Rightarrow D=16\cdot2{,}592=41{,}472\\ M.
    V_{29}^{\text{temp}}=585{,}6+41{,}472=627{,}072\\ M>600\Rightarrow V_{29}=600\\ M.
  30. jun/64: Q=42\Rightarrow D=-33\cdot2{,}592=-85{,}536\\ M.
    V_{30}=0{,}976\cdot600-85{,}536=500{,}064\\ M.
  31. jul/64: Q=39\Rightarrow D=-36\cdot2{,}592=-93{,}312\\ M.
    V_{31}\approx394{,}750{,}464\\ \mathrm{m}^3\\ (394{,}750\\ M).
  32. ago/64: Q=39\Rightarrow D=-93{,}312\\ M.
    V_{32}\approx291{,}964{,}453\\ \mathrm{m}^3\\ (291{,}964\\ M).
  33. set/64: Q=51\Rightarrow D=-24\cdot2{,}592=-62{,}208\\ M.
    V_{33}\approx222{,}749{,}306\\ \mathrm{m}^3\\ (222{,}749\\ M).
  34. out/64: Q=69\Rightarrow D=-6\cdot2{,}592=-15{,}552\\ M.
    V_{34}\approx201{,}851{,}323\\ \mathrm{m}^3\\ (201{,}851\\ M).
  35. nov/64: Q=103\Rightarrow D=28\cdot2{,}592=72{,}576\\ M.
    V_{35}\approx269{,}582{,}891\\ \mathrm{m}^3\\ (269{,}583\\ M).
  36. dez/64: Q=156\Rightarrow D=81\cdot2{,}592=209{,}952\\ M.
    V_{36}\approx473{,}064{,}902\\ \mathrm{m}^3\\ (473{,}065\\ M).
Observação sobre transbordos: quando V_{k+1}^{\text{temp}}>600\\ M parte da água foi transbordada (desconsiderada) e o volume real ficou em 600\\ M. Isso ocorreu em vários meses (por exemplo jan/62, fev/62, …), o que é normal: em meses de cheia o reservatório simplesmente satura e o excesso escorre.

Passo 5

Interpretação dos resultados (o passo de “como usar isso na prova” e dicas):
  • Para responder à pergunta principal “pode garantir 75\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}?”, a verificação é: em algum mês o volume V_k ficou negativo? Se não ficou, a vazão pode ser mantida (pois há sempre água suficiente no reservatório para tirar Q_{\text{out}} nesse mês).
  • No nosso cálculo mês a mês, o menor volume registrado (início ou fim de mês segundo o modelo) foi aproximadamente V_{\min}\approx59{,}363{,}050\\ \mathrm{m}^3 \approx 59{,}36\\ \text{hm}^3,ocorrido em outubro de 1963 (out/63) no fim do mês pelo modelo usado. Esse valor é positivo e maior que zero; portanto nunca faltou água.
  • Conclusão prática: o reservatório, começando cheio com 600\\ \text{hm}^3, consegue manter a saída fixa de 75\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s} durante toda a sequência de entradas dada, apesar de chegar a pontos bem baixos de armazenamento.
  • Importante na prova: justificar que se modela mês a mês com V_{k+1}=\min\bigl(0{,}976\,V_k + (Q_{\text{in},k}-75)\Delta t,\;600\times10^6\bigr),e que a evaporação resulta na parcela 0{,}024\,V_k por mês devido à hipótese de área linear. Mostrar que V_k nunca ficou negativa prova que a vazão pode ser garantida.
  • Dica rápida: ao fazer esse tipo de verificação sem calculadora na prova, organize os cálculos em milhões ( M) para reduzir número de zeros e use a fórmula recorrente com \alpha e D_k — isso simplifica muito.

Passo 6

Resumo numérico curto para facilitar conferência (volumes em M = milhões de \mathrm{m}^3):
  • V_0=600. Mínimos observados durante a simulação: cerca de V_{10}\approx72{,}05, V_{22}\approx59{,}36 (menor), V_{34}\approx201{,}85 etc. Em nenhuma etapa V_k ficou negativa.

Resposta

Sim.

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