1^{\text {a }}. Questão: 40% pontos
Considere um escoamento em regime permanente, incompressivel, paralelo (desenvolvido), laminar, de um fluido newtoniano de viscosidade dada, descendo em uma tubulação circular de raio R e com inclinação de um ângulo \theta. O escoamento é promovido apenas por gravidade.
a. Estabelecer o modelo físico;
b. Estabelecer o modelo matemático diferencial para a fluidodinâmica;
c. Deduzir o modelo matemático contínuo para a fluidodinâmica;
d. Calcular a vazão.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas (cumprirei cada uma):
  • (a) estabelecer o modelo físico;
  • (b) estabelecer o modelo matemático diferencial para a fluidodinâmica;
  • (c) deduzir o modelo matemático contínuo (solução do problema contínuo);
  • (d) calcular a vazão.
Informações dadas e condições do problema (pego do enunciado):
  • Tubulação circular de raio \;R\;.
  • Tubulação inclinada de um ângulo \theta em relação à horizontal.
  • Escoamento em regime permanente (estacionário).
  • Fluido incompressível e newtoniano, com viscosidade dinâmica dada \;\mu\; e massa específica \;\rho\;.
  • Escoamento paralelo (desenvolvido) e laminar.
  • Força motriz: apenas a gravidade (isto é, não há gradiente de pressão imposto externamente).
  • Condições de contorno esperadas: velocidade finita no centro ( r=0), e condição de aderência (no-slip) na parede ( u(R)=0).
O objetivo final é obter o perfil de velocidade axial u(r) e a vazão volumétrica Q.

Passo 2

Modelo físico — lista detalhada de hipóteses e o que elas significam (explicação didática e intuitiva):
  1. Regime permanente (estacionário): todas as grandezas não dependem do tempo; \partial/\partial t=0. Isso simplifica muito as equações porque não há termos de armazenamento.
  2. Incompressível: \nabla\cdot\mathbf{v}=0. Para fluido incompressível a densidade \rho é constante espacialmente e no tempo (isso simplifica a conservação de massa).
  3. Fluido newtoniano: a tensão de cisalhamento é proporcional ao gradiente de velocidade, com constante de proporcionalidade \mu (viscosidade dinâmica). Em uma direção simples, \tau_{rz}=\mu\,\dfrac{du}{dr}.
  4. Escoamento paralelo (desenvolvido) e laminar: a velocidade tem apenas componente axial, chamada aqui de u, que depende somente da coordenada radial r; isto é, \mathbf{v}=(0,0,u(r)) em coordenadas cilíndricas (r,\varphi,x) com x ao longo do eixo do tubo. Desenvolvido significa que \partial u/\partial x=0. Laminar significa que as camadas deslizam sem mistura turbulenta, portanto o modelo viscoso (Navier–Stokes / equilíbrio difusivo) é válido.
  5. Força motriz: a componente da gravidade na direção do eixo do tubo é \rho g\sin\theta por unidade de volume (força por volume). Vou adotar o eixo x indo no sentido descendente (sentido que a gravidade puxa). Assim, no balanço, a contribuição de corpo será +\rho g\sin\theta no termo de força por unidade de volume nessa direção.
  6. Condições de contorno físicas: aderência na parede \;u(R)=0\; (o fluido na parede tem velocidade igual à da parede que consideramos fixa); simetria/regularidade no centro exige que u(r) seja finita e que \left.\dfrac{du}{dr}\right|_{r=0}=0.
Observações físicas sobre o gradiente de pressão: globalmente, a equação de momento axial terá um termo -\dfrac{dp}{dx} mais o termo de corpo \rho g\sin\theta. Como o enunciado afirma que o escoamento é “promovido apenas por gravidade” e não impõe nenhum gradiente de pressão externo, vamos adotar o caso prático em que não há gradiente de pressão imposto adicional ao longo do tubo, ou seja \dfrac{dp}{dx}=0. (Se houvesse um gradiente de pressão adicional, ele apareceria simplesmente como um termo adicional -dp/dx na mesma equação linha a linha e a solução seria análoga, com -dp/dx substituindo \rho g\sin\theta.)

Passo 3

Estabelecer o modelo matemático diferencial (equação diferencial a resolver) — derivação a partir de Navier–Stokes em coordenadas cilíndricas:
  1. Começo da equação: em regime estacionário a equação de momento (Navier–Stokes) para a componente axial x é, em forma geral,
\rho \left( v_r\frac{\partial u}{\partial r} + \frac{v_\varphi}{r}\frac{\partial u}{\partial \varphi} + v_x\frac{\partial u}{\partial x} \right) = -\frac{dp}{dx} + \mu \nabla^2 u + \rho g\sin\theta,
onde \nabla^2 é o laplaciano vetorial aplicado à componente axial.
  1. Aplicando as hipóteses de escoamento paralelo e desenvolvido:
  • v_r=0, v_\varphi=0, v_x=u(r).
  • \partial u/\partial x=0 (desenvolvido), \partial u/\partial \varphi=0 (simetria).
    Assim, os termos convectivos (à esquerda) são zero. A equação reduz-se a um balanço entre pressão, viscosidade e gravidade:
0 = -\frac{dp}{dx} + \mu\nabla^2 u + \rho g\sin\theta.
  1. Em coordenadas cilíndricas, para uma função que depende apenas de r, o laplaciano axial reduz-se a
\nabla^2 u = \frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{du}{dr}\right).
  1. Portanto a equação diferencial ordinária a ser resolvida é
0 = -\frac{dp}{dx} + \mu\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{du}{dr}\right) + \rho g\sin\theta.
  1. Adotando a hipótese do enunciado que a única força motriz é a gravidade e que não existe gradiente de pressão adicional imposto, colocamos
\frac{dp}{dx}=0,
ficando a equação a resolver
\boxed{\;\mu\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{du}{dr}\right) + \rho g\sin\theta = 0\; }.
Essa é a equação diferencial que descreve o problema contínuo sob as hipóteses dadas.

Passo 4

Resolução da equação diferencial (dedução do modelo matemático contínuo — passo a passo com integrações e justificativas):
Temos a ODE
\mu\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{du}{dr}\right) = -\rho g\sin\theta.
Passo 4.1 — simplificar isolando a derivada:
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{du}{dr}\right) = -\frac{\rho g\sin\theta}{\mu}.
Passo 4.2 — multiplicar por r e integrar em r:
\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{du}{dr}\right) = -\frac{\rho g\sin\theta}{\mu}\,r.
Integro em r:
r\frac{du}{dr} = -\frac{\rho g\sin\theta}{\mu}\cdot\frac{r^2}{2} + C_1,
onde C_1 é constante de integração.
Passo 4.3 — dividir por r (para r>0):
\frac{du}{dr} = -\frac{\rho g\sin\theta}{2\mu}\,r + \frac{C_1}{r}.
Para que \dfrac{du}{dr} seja finito e u(r) regular no centro r=0, o termo \dfrac{C_1}{r} não pode divergir quando r\to0. Portanto exigimos C_1=0.
Passo 4.4 — integrar novamente:
\frac{du}{dr} = -\frac{\rho g\sin\theta}{2\mu}\,r.
Integrando,
u(r) = -\frac{\rho g\sin\theta}{2\mu}\cdot\frac{r^2}{2} + C_2 = -\frac{\rho g\sin\theta}{4\mu}\,r^2 + C_2,
onde C_2 é outra constante de integração.
Passo 4.5 — aplicar condição de contorno na parede (no-slip):
u(R)=0 \quad\Rightarrow\quad 0 = -\frac{\rho g\sin\theta}{4\mu}\,R^2 + C_2.
Logo
C_2 = \frac{\rho g\sin\theta}{4\mu}\,R^2.
Passo 4.6 — escrever o perfil final:
\boxed{\;u(r)=\frac{\rho g\sin\theta}{4\mu}\left(R^2-r^2\right)\; }.
Comentário intuitivo: é um perfil parabólico (semelhante ao de Poiseuille), máximo no centro r=0 e nulo na parede r=R. O pico de velocidade (no centro) é
u_{\max}=u(0)=\frac{\rho g\sin\theta}{4\mu}\,R^2.

Passo 5

Cálculo da vazão volumétrica Q (integração do perfil):
A definição da vazão é
Q=\iint_{A} u(r)\,dA.
Em coordenadas polares/cilíndricas, dA = r\,dr\,d\varphi e a simetria angular dá um fator 2\pi:
Q = 2\pi\int_{0}^{R} u(r)\,r\,dr.
Substituindo u(r):
Q = 2\pi\int_{0}^{R} \frac{\rho g\sin\theta}{4\mu}\left(R^2-r^2\right) r\,dr = 2\pi\frac{\rho g\sin\theta}{4\mu} \int_{0}^{R} \left(R^2 r - r^3\right) dr.
Calcular a integral:
\int_{0}^{R} \left(R^2 r - r^3\right) dr = R^2\cdot\frac{R^2}{2} - \frac{R^4}{4} = \frac{R^4}{2} - \frac{R^4}{4} = \frac{R^4}{4}.
Portanto
Q = 2\pi\frac{\rho g\sin\theta}{4\mu}\cdot\frac{R^4}{4} = \frac{2\pi\rho g\sin\theta R^4}{16\mu} = \frac{\pi\rho g\sin\theta R^4}{8\mu}.
Expressão final da vazão:
\boxed{\;Q=\frac{\pi\rho g\sin\theta\,R^4}{8\mu}\; }.

Passo 6

Resumo físico e verificação rápida (intuitiva):
  • A solução tem formato clássico parabólico, exatamente análoga ao escoamento de Poiseuille: lá a força motriz é o gradiente de pressão -dp/dx, aqui a força motriz é \rho g\sin\theta. Se houvesse um gradiente de pressão adicional, a solução fica com -dp/dx+\rho g\sin\theta no lugar de \rho g\sin\theta.
  • Unidade consistente: [Q]=\text{(massa/volume)}\cdot\text{(acc)}\cdot R^4/\mu combina para dar volume/tempo, como esperado.
  • Condição de escoamento laminar: para que o perfil parabólico seja válido, o número de Reynolds baseado em R e velocidade média deve ficar abaixo do limiar turbulento (isso é uma verificação prática que se pode fazer se houver números). A velocidade média \bar u = Q/(\pi R^2) = (\rho g\sin\theta R^2)/(8\mu).

Resposta

(a) Modelo físico: escoamento estacionário, incompressível, newtoniano, paralelo (desenvolvido) e laminar em tubo circular de raio \;R\;, forçado apenas pela componente da gravidade \rho g\sin\theta; condições de contorno: u(R)=0 (no-slip) e regularidade no centro r=0.
(b) Modelo matemático diferencial (equação a resolver):
\mu\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{du}{dr}\right)+\rho g\sin\theta=0.
(c) Modelo matemático contínuo (perfil de velocidade):
u(r)=\frac{\rho g\sin\theta}{4\mu}\left(R^2-r^2\right).
(d) Vazão volumétrica:
Q=\frac{\pi\,\rho\,g\sin\theta\,R^4}{8\mu}.

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